Решите неравенства

Давайте решим одно неравенство из предложенного списка. Например, выберем № 1260:

Неравенство:

\[ 3x^2 + 3x - 12 > 2(x - 5)^2 \]

Шаг 1: Раскрытие скобок

Сначала раскроем скобки в правой части неравенства:

\[ 2(x - 5)^2 = 2(x^2 - 10x + 25) = 2x^2 - 20x + 50 \]

Теперь у нас неравенство:

\[ 3x^2 + 3x - 12 > 2x^2 - 20x + 50 \]

Шаг 2: Приведение к стандартной форме

Перенесем все члены из правой части в левую, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

\[ 3x^2 + 3x - 12 - 2x^2 + 20x - 50 > 0 \]

Упростим:

\[ x^2 + 23x - 62 > 0 \]

Шаг 3: Нахождение корней квадратного уравнения

Решим соответствующее квадратное уравнение:

\[ x^2 + 23x - 62 = 0 \]

Используем формулу корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где \( a = 1 \), \( b = 23 \), \( c = -62 \).

\[ b^2 - 4ac = 23^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-62) = 529 + 248 = 777 \]

\[ x = \frac{-23 \pm \sqrt{777}}{2} \]

Посчитаем приближенные значения корней:

\[ \sqrt{777} \approx 27.8747 \]

Тогда:

\[ x_1 = \frac{-23 + 27.8747}{2} \approx 2.43735 \] \[ x_2 = \frac{-23 - 27.8747}{2} \approx -25.43735 \]

Шаг 4: Интервальное решение

На числовой прямой отметим корни: \( x_1 \approx 2.44 \) и \( x_2 \approx -25.44 \).

Для определения знака квадратичной функции на промежутках:

1. \( x < x_2 \Rightarrow f(x) > 0 \)
2. \( x_2 < x < x_1 \Rightarrow f(x) < 0 \)
3. \( x > x_1 \Rightarrow f(x) > 0 \)

Ответ:

Интервалы, где неравенство выполняется: \( x \in (-\infty, -25.44) \cup (2.44, \infty) \).

Если понадобится помощь с другим неравенством, дайте знать!