.
Чтобы решить уравнение \((\frac{1}{x})^2 - \frac{2}{x} - \frac{1}{3} = 0\), следуйте этим шагам:
Перепишите уравнение:
\[ \left(\frac{1}{x}\right)^2 - \frac{2}{x} - \frac{1}{3} = 0 \]
Обозначим \(\frac{1}{x} = t\). Тогда уравнение станет:
\[ t^2 - 2t - \frac{1}{3} = 0 \]
Решите полученное квадратное уравнение:
Уравнение примет вид \(t^2 - 2t - \frac{1}{3} = 0\).
Это приведенное квадратное уравнение, и его можно решить с помощью дискриминанта, который вычисляется по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Подставляем значения:
\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 4 + \frac{4}{3} = \frac{12}{3} + \frac{4}{3} = \frac{16}{3} \]
Найдите корни уравнения:
Корни квадратного уравнения находятся по формуле:
\[ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим значения:
\[ t_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{\frac{16}{3}}}{2} = \frac{2 \pm \frac{4}{\sqrt{3}}}{2} = 1 \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \]
Преобразуем полученные выражения:
\[ t_1 = 1 + \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3}} \]
\[ t_2 = 1 - \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - 2}{\sqrt{3}} \]
Вернемся к переменной \(x\):
Так как \(t = \frac{1}{x}\), то:
\[ x_1 = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 2} \]
\[ x_2 = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 2} \]
Таким образом, мы нашли значения \(x\) через подстановку и решение квадратного уравнения.
