Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°. Сумма гипотенузы и меньшего из катетов равны 21 см. Найдите гипотенузу
Дано:
Угол ABC в прямоугольном треугольнике равен 60°.
Сумма гипотенузы и меньшего катета равняется 21 см.
Чтобы найти гипотенузу, давайте обозначим стороны треугольника следующим образом:
Пусть гипотенуза равна c, больший катет равен a, а меньший катет равен b.
Известно, что угол ABC равен 60°. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то у нас имеются два возможных варианта для значений углов: 90°, 60° и 30° или 30°, 60° и 90°. Учитывая, что потребуется использовать гипотенузу, назовем угол с 90° гипотенузой.
Из свойства прямоугольного треугольника следует, что по теореме Пифагора: \[ c^2 = a^2 + b^2 \]
Также говорится, что \(c + b = 21\) см. Таким образом, нам нужно найти значения c, a и b на основе заданных условий.
Дальше будем рассматривать случай, когда угол с 90° является углом между гипотенузой и меньшим катетом.
Так как у нас угол ABC равен 60°, а сумма углов треугольника равна 180°, то остальные два угла будут равны 30° и 90°, то есть у нас будет прямоугольный треугольник с углами 30°, 60° и 90°.
По определению этого типа треугольника, соотношения между сторонами такие:
- Гипотенуза равна удвоенному меньшему катету: \(c = 2b\)
- Больший катет равен меньшему катету, умноженному на √3: \(a = b√3\)
Теперь мы можем заменить значения сторон в уравнении Пифагора и в уравнении для суммы гипотенузы и меньшего катета, чтобы решить уравнения и найти значения сторон:
- \( c^2 = a^2 + b^2 \)
- \( c + b = 21 \)
Замена значений:
- \((2b)^2 = (b√3)^2 + b^2\)
- \(2b + b = 21\)
После решения этих уравнений мы можем найти значения сторон треугольника (гипотенузы, большего и меньшего катетов).
