Решите уравнение

Давайте решим уравнение \( \sqrt{4 + x} \cdot \sqrt{5 - x} = 2\sqrt{2} \). 1. **Упростим выражение под знаком корня:** \[ \sqrt{4 + x} \cdot \sqrt{5 - x} = \sqrt{(4 + x)(5 - x)} \] 2. **Раскроем скобки:** \[ (4 + x)(5 - x) = 20 - 4x + 5x - x^2 = 20 + x - x^2 \] 3. **Теперь у нас уравнение:** \[ \sqrt{20 + x - x^2} = 2\sqrt{2} \] 4. **Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:** \[ 20 + x - x^2 = 8 \] 5. **Упростим выражение:** \[ -x^2 + x + 20 = 8 \] 6. **Перенесем все в одну сторону:** \[ -x^2 + x + 12 = 0 \] 7. **Умножим на -1 для удобства:** \[ x^2 - x - 12 = 0 \] 8. **Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:** \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \] 9. **Найдем корни квадратного уравнения:** \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{1 \pm 7}{2} \] Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{8}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{-6}{2} = -3 \] 10. **Проверка:** - Подставляем \( x = 4 \): \[ \sqrt{4 + 4}\cdot\sqrt{5 - 4} = \sqrt{8} \cdot 1 = 2\sqrt{2} \] Условие выполняется. - Подставляем \( x = -3 \): \[ \sqrt{4 - 3}\cdot\sqrt{5 + 3} = \sqrt{1} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] Условие также выполняется. Таким образом, решения уравнения: \( x = 4 \) и \( x = -3 \).