Решите уравнение

Давайте решим уравнение \( \sqrt{4 + x} \cdot \sqrt{5 - x} = 2\sqrt{2} \).

1. Упростим выражение под знаком корня: \[ \sqrt{4 + x} \cdot \sqrt{5 - x} = \sqrt{(4 + x)(5 - x)} \]

2. Раскроем скобки: \[ (4 + x)(5 - x) = 20 - 4x + 5x - x^2 = 20 + x - x^2 \]

3. Теперь у нас уравнение: \[ \sqrt{20 + x - x^2} = 2\sqrt{2} \]

4. Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня: \[ 20 + x - x^2 = 8 \]

5. Упростим выражение: \[ -x^2 + x + 20 = 8 \]

6. Перенесем все в одну сторону: \[ -x^2 + x + 12 = 0 \]

7. Умножим на -1 для удобства: \[ x^2 - x - 12 = 0 \]

8. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \]

9. Найдем корни квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{1 \pm 7}{2} \]

   Получаем два корня:

   \[ x_1 = \frac{8}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{-6}{2} = -3 \]

10. Проверка:

• Подставляем \( x = 4 \): \[ \sqrt{4 + 4}\cdot\sqrt{5 - 4} = \sqrt{8} \cdot 1 = 2\sqrt{2} \]

  Условие выполняется.

• Подставляем \( x = -3 \): \[ \sqrt{4 - 3}\cdot\sqrt{5 + 3} = \sqrt{1} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

  Условие также выполняется.

Таким образом, решения уравнения: \( x = 4 \) и \( x = -3 \).