Мир

Давайте разберемся с этой задачей.

У нас дана возрастающая геометрическая прогрессия, третьим и четвертым членами которой являются \(b_3\) и \(b_4\). Условие задачи:

1. \( b_3 = 36 \)
2. \( b_1 > 0 \)
3. \( b_2 + b_4 = 20 \)

Необходимо найти \( b_4 \).

Пусть первый член прогрессии равен \( b_1 \) и знаменатель прогрессии — \( q \). Тогда члены прогрессии можно выразить как:

\[ b_2 = b_1 \cdot q \] \[ b_3 = b_1 \cdot q^2 \] \[ b_4 = b_1 \cdot q^3 \]

С учетом того, что \( b_3 = 36 \), у нас получается:

\[ b_1 \cdot q^2 = 36 \]

Также известно, что \( b_2 + b_4 = 20 \), то есть:

\[ b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^3 = 20 \]

Можно вынести \( b_1 \) за скобки:

\[ b_1(q + q^3) = 20 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( b_1 \cdot q^2 = 36 \)
2. \( b_1(q + q^3) = 20 \)

Найдем \( b_1 \) из первого уравнения:

\[ b_1 = \frac{36}{q^2} \]

Подставим это во второе уравнение:

\[ \frac{36}{q^2} (q + q^3) = 20 \]

Упростим выражение:

\[ \frac{36(q + q^3)}{q^2} = 20 \]

Сократим:

\[ 36 \left(\frac{q}{q^2} + \frac{q^3}{q^2}\right) = 20 \]

\[ 36 \left(\frac{1}{q} + q\right) = 20 \]

\[ 36 \left(\frac{1 + q^2}{q}\right) = 20 \]

\[ \frac{36(1 + q^2)}{q} = 20 \]

Умножим уравнение на \( q \) и получим:

\[ 36(1 + q^2) = 20q \]

Раскроем скобки:

\[ 36 + 36q^2 = 20q \]

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

\[ 36q^2 - 20q + 36 = 0 \]

Решаем это уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант \( D \) находится по формуле:

\[ D = b^2 - 4ac \]

где \( a = 36 \), \( b = -20 \), \( c = 36 \).

\[ D = (-20)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 36 \]

\[ D = 400 - 5184 \]

\[ D = -4784 \]

Так как дискриминант отрицателен, ошибка в расчетах или условиях. Перепроверьте исходные данные или ограничения.

На практике, стоит перепроверить уравнение и пересчитать с более точными данными.