В задуманном двузначном числе цифра, стоящая в разряде десятков, в 2 раза меньше цифры, стоящей в разряде единиц. Если эти две цифры поменять местами, то число увеличится на 27…

Решение:

Пусть задуманное двузначное число, состоящее из цифр \(ab\), где \(a\) - цифра разряда десятков, а \(b\) - цифра разряда единиц. Согласно условию, мы имеем два уравнения:

1. \(10a + b = 2(10b + a)\) - уравнение, описывающее условие "цифра, стоящая в разряде десятков, в 2 раза меньше цифры, стоящей в разряде единиц"
2. \((10b + a) - (10a + b) = 27\) - уравнение, описывающее условие "если поменять цифры местами, число увеличится на 27".

Решим систему уравнений:

1. \(10a + b = 20b + 2a\)
   \(8a = 19b\)
   \(a = \frac{19b}{8}\)

2. \(10b + a - 10a - b = 27\)
   \(9b - 9a = 27\)
   \(b - a = 3\)
   \(b - \frac{19b}{8} = 3\)
   \(\frac{8b - 19b}{8} = 3\)
   \(-\frac{11b}{8} = 3\)
   \(b = -\frac{24}{11}\)

Что не имеет смысла, так как \(b\) должно быть целым числом. Значит, такое задуманное число не существует.