В задуманном двузначном числе цифра, стоящая в разряде десятков, в 2 раза меньше цифры, стоящей в разряде единиц. Если эти две цифры поменять местами, то число увеличится на 27 Найдите задуманное число.

**Решение:** Пусть задуманное двузначное число, состоящее из цифр $ab$, где $a$ - цифра разряда десятков, а $b$ - цифра разряда единиц. Согласно условию, мы имеем два уравнения: 1. $10a + b = 2(10b + a)$ - уравнение, описывающее условие "цифра, стоящая в разряде десятков, в 2 раза меньше цифры, стоящей в разряде единиц" 2. $(10b + a) - (10a + b) = 27$ - уравнение, описывающее условие "если поменять цифры местами, число увеличится на 27". Решим систему уравнений: 1. $10a + b = 20b + 2a$ $8a = 19b$ $a = \frac{19b}{8}$ 2. $10b + a - 10a - b = 27$ $9b - 9a = 27$ $b - a = 3$ $b - \frac{19b}{8} = 3$ $\frac{8b - 19b}{8} = 3$ $-\frac{11b}{8} = 3$ $b = -\frac{24}{11}$ Что не имеет смысла, так как $b$ должно быть целым числом. Значит, такое задуманное число не существует.