Решите уравнение
Чтобы решить уравнение
\[ \sqrt{17 + \sqrt{x}} = \sqrt{20 - 2\sqrt{x}}, \]
следуем следующим шагам:
Шаг 1: Избавимся от квадратных корней
Возведем обе стороны в квадрат: \[ (\sqrt{17 + \sqrt{x}})^2 = (\sqrt{20 - 2\sqrt{x}})^2. \]
Это упростит уравнение до: \[ 17 + \sqrt{x} = 20 - 2\sqrt{x}. \]
Шаг 2: Переносим все выражения с \(\sqrt{x}\) в одну часть уравнения
Добавим \(2\sqrt{x}\) к обеим сторонам: \[ 17 + \sqrt{x} + 2\sqrt{x} = 20. \]
Это упростит уравнение до: \[ 17 + 3\sqrt{x} = 20. \]
Шаг 3: Изолируем \(\sqrt{x}\)
Вычтем 17 из обеих сторон уравнения: \[ 3\sqrt{x} = 3. \]
Шаг 4: Решим уравнение относительно \(\sqrt{x}\)
Разделим обе стороны на 3: \[ \sqrt{x} = 1. \]
Шаг 5: Возведем в квадрат, чтобы найти \(x\)
Возведем обе стороны в квадрат: \[ x = 1^2 = 1. \]
Проверка
Подставим \(x = 1\) обратно в изначальное уравнение, чтобы убедиться в правильности решения:
Левая часть: \[ \sqrt{17 + \sqrt{1}} = \sqrt{17 + 1} = \sqrt{18}. \]
Правая часть: \[ \sqrt{20 - 2\sqrt{1}} = \sqrt{20 - 2} = \sqrt{18}. \]
Обе части равны, следовательно, \(x = 1\) — это правильное решение.
Ответ: \(x = 1\).
