Чтобы решить уравнение
[
\sqrt{17 + \sqrt{x}} = \sqrt{20 - 2\sqrt{x}},
]
следуем следующим шагам:
Шаг 1: Избавимся от квадратных корней
Возведем обе стороны в квадрат:
[
(\sqrt{17 + \sqrt{x}})^2 = (\sqrt{20 - 2\sqrt{x}})^2.
]
Это упростит уравнение до:
[
17 + \sqrt{x} = 20 - 2\sqrt{x}.
]
Шаг 2: Переносим все выражения с (\sqrt{x}) в одну часть уравнения
Добавим (2\sqrt{x}) к обеим сторонам:
[
17 + \sqrt{x} + 2\sqrt{x} = 20.
]
Это упростит уравнение до:
[
17 + 3\sqrt{x} = 20.
]
Шаг 3: Изолируем (\sqrt{x})
Вычтем 17 из обеих сторон уравнения:
[
3\sqrt{x} = 3.
]
Шаг 4: Решим уравнение относительно (\sqrt{x})
Разделим обе стороны на 3:
[
\sqrt{x} = 1.
]
Шаг 5: Возведем в квадрат, чтобы найти (x)
Возведем обе стороны в квадрат:
[
x = 1^2 = 1.
]
Проверка
Подставим (x = 1) обратно в изначальное уравнение, чтобы убедиться в правильности решения:
Левая часть:
[
\sqrt{17 + \sqrt{1}} = \sqrt{17 + 1} = \sqrt{18}.
]
Правая часть:
[
\sqrt{20 - 2\sqrt{1}} = \sqrt{20 - 2} = \sqrt{18}.
]
Обе части равны, следовательно, (x = 1) — это правильное решение.
Ответ: (x = 1).
