Вычислим уравнение
Давайте решим уравнение:
\[ \sqrt{x + 2} - \frac{2}{\sqrt{x + 2}} = 1 \]
Обозначим: Пусть \( y = \sqrt{x + 2} \). Тогда \( y^2 = x + 2 \).
Преобразуем уравнение: Подставляем \( y \) в уравнение: \[ y - \frac{2}{y} = 1 \]
Умножим каждую часть уравнения на \( y \) для избавления от дроби: \[ y^2 - 2 = y \]
Переносим все члены на одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[ y^2 - y - 2 = 0 \]
Решаем квадратное уравнение \( y^2 - y - 2 = 0 \): Найдем корни с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]
Вычислим корни: \[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{2} \]
Получаем два решения: \[ y_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \] \[ y_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \]
Ищем \( x \) для допустимых значений \( y \): Поскольку \( y = \sqrt{x + 2} \), то \( y \) не может быть отрицательным. Поэтому учитываем только \( y_1 = 2 \).
Для \( y = 2 \): \[ \sqrt{x + 2} = 2 \implies x + 2 = 4 \implies x = 2 \]
Ответ: Уравнение имеет решение \( x = 2 \).
Проверим: Подставим \( x = 2 \) в изначальное уравнение: \[ \sqrt{2 + 2} - \frac{2}{\sqrt{2 + 2}} = 2 - \frac{2}{2} = 2 - 1 = 1 \]
Таким образом, \( x = 2 \) является решением уравнения.
