Вычислите

Давайте подробно разберём каждое из выражений.

1. \(\log_9 81\)

   \(81 = 9^2\), значит: \[ \log_9 81 = \log_9 (9^2) = 2 \]

2. \(\log_4 \left(\frac{1}{16}\right)\)

   \(\frac{1}{16} = 16^{-1} = (4^2)^{-1} = 4^{-2}\), значит: \[ \log_4 \left(\frac{1}{16}\right) = \log_4 (4^{-2}) = -2 \]

3. \(\log_2 0.125\)

   \(0.125 = \frac{1}{8} = 8^{-1} = (2^3)^{-1} = 2^{-3}\), значит: \[ \log_2 0.125 = \log_2 (2^{-3}) = -3 \]

4. \(\log_{0.25} 64\)

   \(0.25 = \frac{1}{4} = 4^{-1} = (2^2)^{-1} = 2^{-2}\)

   Также \(64 = 2^6\), поэтому: \[ \log_{0.25} 64 = \log_{2^{-2}} 2^6 = \frac{6}{-2} = -3 \]

5. \(\log_{27} 243\)

   \(27 = 3^3\) и \(243 = 3^5\), значит: \[ \log_{27} 243 = \log_{3^3} 3^5 = \frac{5}{3} \]

6. \(\log_6 \left(\frac{36}{\frac{4}{6}}\right)\)

   Сначала упростим выражение внутри логарифма:

   \[ \frac{36}{\frac{4}{6}} = 36 \times \frac{6}{4} = 36 \times \frac{3}{2} = 54 \]

   Значит, имеем \(\log_6 54\).

   \(54 = 6 \times 9 = 6 \times 3^2 = 6^1 \times 3^2\)

   Здесь нет простого логарифма, но его можно оставить в таком виде:

   \[ \log_6 54 = \log_6 (6 \times 3^2) = 1 + 2 \log_6 3 \]

Таким образом, мы получили следующие результаты:

1. \(2\)
2. \(-2\)
3. \(-3\)
4. \(-3\)
5. \(\frac{5}{3}\)
6. \(1 + 2 \log_6 3\) (в общем виде)