При каких значениях переменной х имеет смысл выражения
Чтобы выяснить, при каких значениях переменной \( x \) имеет смысл каждое из данных выражений, начнем с основ логарифмических функций.
1) \(\log_{2x+7}(3-9x)\)
Для логарифма \(\log_a(b)\) необходимо, чтобы:
- Основание \( a \) было положительным, но не равнялось 1, то есть \( a > 0 \) и \( a \neq 1 \).
- Подлогарифмическое выражение \( b \) было больше нуля, то есть \( b > 0 \).
Применим эти условия к выражению:
Условие 1: Основание логарифма
Основание \( 2x + 7 \) должно быть больше нуля и не равно 1.
\( 2x + 7 > 0 \Rightarrow 2x > -7 \Rightarrow x > -\frac{7}{2} \)
\( 2x + 7 \neq 1 \Rightarrow 2x \neq -6 \Rightarrow x \neq -3 \)
Условие 2: Подлогарифмическое выражение
\( 3 - 9x > 0 \Rightarrow 3 > 9x \Rightarrow x < \frac{1}{3} \)
Теперь объединим условия:
- \( x > -\frac{7}{2} \)
- \( x \neq -3 \)
- \( x < \frac{1}{3} \)
Итак, объединяя эти условия, получаем: \[ -\frac{7}{2} < x < \frac{1}{3}, \quad x \neq -3 \]
2) \(\log_{11}(x^2 + 3x - 10)\)
Для логарифма \(\log_a(b)\), как говорилось раньше:
- Основание 11 положительно и не равно 1, это условие выполняется всегда для \( a = 11 \).
- Подлогарифмическое выражение \( x^2 + 3x - 10 > 0 \).
Решим неравенство \( x^2 + 3x - 10 > 0 \) методом поиска корней квадратного уравнения:
Корни уравнения:
\[ x^2 + 3x - 10 = 0 \] Используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \]
Корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 7}{2} \]
\[ x_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-10}{2} = -5 \]
Решение неравенства
Рассмотрим промежутки на числовой прямой: \((- \infty, -5)\), \((-5, 2)\), \((2, \infty)\). Подставим пробные значения \( x \) из каждого интервала в выражение \( x^2 + 3x - 10 \):
\( x < -5 \), например \( x = -6 \): \((-6)^2 + 3(-6) - 10 = 36 - 18 - 10 = 8\), то есть больше нуля.
\(-5 < x < 2\), например \( x = 0 \): \(0^2 + 3(0) - 10 = -10\), то есть меньше нуля.
\( x > 2 \), например \( x = 3 \): \(3^2 + 3(3) - 10 = 9 + 9 - 10 = 8\), то есть больше нуля.
Следовательно, подлогарифмическое выражение положительно: \[ x \in (-\infty, -5) \cup (2, \infty) \]
Таким образом, для выражения \(\log_{11}(x^2 + 3x - 10)\) имеет смысл, когда: \[ x \in (-\infty, -5) \cup (2, \infty) \]
