При каких значениях переменная х имеет смысл выражения
Чтобы определить, при каких значениях переменная \( x \) имеет смысл выражения \(\log_{(2x+7)}(3 - 9x)\), нужно учесть условия существования логарифма.
Условия существования логарифма:
Основание логарифма положительно и не равно 1:
\[ 2x + 7 > 0 \quad \text{и} \quad 2x + 7 \neq 1 \]
Аргумент логарифма положителен:
\[ 3 - 9x > 0 \]
Решим каждое из неравенств по очереди:
\(2x + 7 > 0\):
\[ 2x > -7 \quad \Rightarrow \quad x > -\frac{7}{2} \]
\(2x + 7 \neq 1\):
\[ 2x \neq -6 \quad \Rightarrow \quad x \neq -3 \]
\(3 - 9x > 0\):
\[ -9x > -3 \quad \Rightarrow \quad x < \frac{1}{3} \]
Итоговое решение:
Чтобы найти общий диапазон значений \( x \), удовлетворяющих всем условиям, объединим результаты:
- \( x > -\frac{7}{2} \) (или \( x > -3.5 \))
- \( x \neq -3 \)
- \( x < \frac{1}{3} \)
Таким образом, объединяем неравенства:
\[ -\frac{7}{2} < x < \frac{1}{3}, \quad x \neq -3 \]
То есть, переменная \( x \) может принимать значения в интервале:
\[ x \in \left( -\frac{7}{2}, \frac{1}{3} \right), \quad x \neq -3 \]
Это означает, что логарифмическое выражение имеет смысл для всех \( x \) в этом диапазоне, за исключением точки \( x = -3 \).
