25. В остроугольном треугольнике  A B C ABC есть высота  A H AH и биссектриса  B M BM. Точка пересечения биссектрисы  B M BM и высоты  A H AH делит высоту в соотношении  5 : 3 5:3, считая от точки  A A. Определи значение радиуса окружности, описанной около данного треугольника, если  A C = 24 AC=24.

Дано: $AC = 24$, отношение деления высоты $AH$ в точке $K$ равно $5:3$. Чтобы решить эту задачу, давайте сначала найдем длины высоты и биссектрисы треугольника $ABC$. 1. **Найдем длину высоты $AH$:** Так как $K$ делит $AH$ в отношении $5:3$, то длина $AK$ будет $\frac{5}{5+3} = \frac{5}{8}$ от длины $AH$, а длина $KH$ будет $\frac{3}{5+3} = \frac{3}{8}$ от длины $AH$. $AK = \frac{5}{8} \cdot AC = \frac{5}{8} \cdot 24 = 15$ $KH = \frac{3}{8} \cdot AC = \frac{3}{8} \cdot 24 = 9$ Треугольник $AKH$ — прямоугольный (по определению высоты). Применим теорему Пифагора: $AH^2 = AK^2 + KH^2$ $AH^2 = 15^2 + 9^2$ $AH = \sqrt{225 + 81}$ $AH = \sqrt{306} = 3\sqrt{34}$ Таким образом, $AH = 3\sqrt{34}$. 2. **Найдем длину биссектрисы $BM$:** Треугольники $ABM$ и $ACH$ подобны, потому что углы при вершинах $A$ равны (углы между медианой и сторонами под углом). Тогда можно записать пропорцию: $\frac{BM}{AC} = \frac{AB}{AH}$ Так как биссектриса делит сторону $AC$ на отрезки $BK$ и $KC$ в отношении равном отношению других сторон треугольника, то: $BK = \frac{AC \cdot AB}{AB + AH}$. Подставляем данное значение стороны $AC = 24$, находим сторону $AB$ как $AB = AC \cdot \frac{5}{8}$, и подставляем в пропорцию: $BM = \frac{AC \cdot AB}{AB + AH} = \frac{24 \cdot 24 \cdot 5/8}{24 \cdot 5/8 + 3\sqrt{34}} = \frac{300}{\frac{15}{2} + 3\sqrt{34}} = \frac{300}{\frac{15 + 6\sqrt{34}}{2}} = \frac{600}{15 + 6\sqrt{34}} = \frac{600}{15(1 + 2\sqrt{34})} = \frac{40}{1 + 2\sqrt{34}} = 40(2\sqrt{34} - 1)$ Таким образом, $BM = 40(2\sqrt{34} - 1)$. 3. **Найдем радиус описанной окружности:** Радиус описанной окружности остроугольного треугольника равен $\frac{abc}{4S}$, где $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника, $S$ — его площадь. Площадь треугольника можно найти по формуле Герона: $p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{AC + BM + AH}{2} = \frac{24 + 40(2\sqrt{34} - 1) + 3\sqrt{34}}{2}$ Площадь: $S = \sqrt{p(p - AC)(p - BM)(p - AH)}$ Площадь = $\sqrt{\frac{24 + 40(2\sqrt{34} - 1) + 3\sqrt{34}}{2} \times \frac{24 + 40(2\sqrt{34} - 1) + 3\sqrt{34} - 24}{2} \times \frac{24 + 40(2\sqrt{34} - 1) + 3\sqrt{34} - 40(2\sqrt{34} - 1)}{2} \times \frac{24 + 40(2\sqrt{34} - 1) + 3\sqrt{34} - 3\sqrt{34}}{2}}$ Радиус описанной окружности: $R = \frac{AC \cdot BM \cdot AH}{4S}$ = $\frac{24 \cdot 40(2\sqrt{34} - 1) \cdot 3\sqrt{34}}{4 \times \sqrt{p(p - AC)(p - BM)(p - AH)}}$ Подставляем значения и рассчитываем радиус описанной окружности.