Найти значение выражения
Для решения этих логарифмических выражений используем свойства логарифмов:
\(\log_2 12 + \log_2 \left(\frac{2}{3}\right)\)
Используем свойство сложения логарифмов: \(\log_b a + \log_b c = \log_b (a \cdot c)\).
\[ \log_2 12 + \log_2 \left(\frac{2}{3}\right) = \log_2 \left(12 \cdot \frac{2}{3}\right) = \log_2 8 \]
Преобразуем \(8\) как \(2^3\):
\[ \log_2 8 = \log_2 (2^3) = 3 \]
\(3 \log_5 3 - \log_5 5.4\)
Используем свойство умножения логарифма на константу: \(a \log_b c = \log_b (c^a)\).
\[ 3 \log_5 3 = \log_5 (3^3) = \log_5 27 \]
Теперь вычитаем \(\log_5 5.4\):
\[ \log_5 27 - \log_5 5.4 = \log_5 \left(\frac{27}{5.4}\right) \]
Вычислим \(\frac{27}{5.4} = 5\):
\[ \log_5 5 = 1 \]
\(\log_{0.5} 28 - 4 \log_{0.5} \sqrt[4]{21} + \frac{1}{2} \log_{0.5} 144\)
Преобразуем каждый логарифм:
\[ 4 \log_{0.5} \sqrt[4]{21} = \log_{0.5} (21^{1/4})^4 = \log_{0.5} 21 \]
\[ \frac{1}{2} \log_{0.5} 144 = \log_{0.5} \sqrt{144} = \log_{0.5} 12 \]
Полное выражение:
\[ \log_{0.5} 28 - \log_{0.5} 21 + \log_{0.5} 12 = \log_{0.5} \left(\frac{28 \cdot 12}{21}\right) \]
Упростим:
\[ \frac{28 \cdot 12}{21} = 16 \]
\[ \log_{0.5} 16 = \log_{0.5} (0.5^{-4}) = -4 \]
\(\log_{6^2} \frac{3}{81}\)
Сначала упростим базу:
\(\log_{36} \frac{3}{81}\).
Выразим в виде дроби:
\[ \log_{36} \left(\frac{3}{81}\right) = \log_{36} \left(\frac{3}{3^4}\right) = \log_{36} \left(\frac{1}{27}\right) \]
Представим \(27\) как \(3^3\):
\[ \log_{36} 27^{-1} = - \log_{36} 27 \]
Это может быть дополнительно решено, если требуется полное значение, но результат этого выражения не является простым числом, поэтому лучше вычислять конкретно с калькулятором, или если известны дополнительные упрощения.
