Найдите значение выражения

Мы видим два выражения, которые необходимо вычислить, используя свойства логарифмов. ### Задача 3 \[ 2\log_{10} \sqrt{15} + 0,5\log_{10} 144 - \log_{10} 6 \] **Шаг 1: Преобразуем логарифмы с коэффициентами.** Используем свойство: \( a\log_b x = \log_b (x^a) \). \[ 2\log_{10} \sqrt{15} = \log_{10} (\sqrt{15})^2 = \log_{10} 15 \] \[ 0,5\log_{10} 144 = \log_{10} (144)^{0,5} = \log_{10} \sqrt{144} = \log_{10} 12 \] Теперь выражение станет: \[ \log_{10} 15 + \log_{10} 12 - \log_{10} 6 \] **Шаг 2: Применяем свойство логарифмов для сложения и вычитания.** Используем свойства: - \( \log_b x + \log_b y = \log_b (xy) \) - \( \log_b x - \log_b y = \log_b \left(\frac{x}{y}\right) \) Получаем: \[ \log_{10}(15 \times 12) - \log_{10} 6 = \log_{10} \left(\frac{15 \times 12}{6}\right) \] **Шаг 3: Упрощаем аргументы логарифма.** \[ 15 \times 12 = 180 \] \[ \frac{180}{6} = 30 \] \[ \log_{10} 30 \] **Ответ:** \(\log_{10} 30\). ### Задача 4 \[ \frac{\log_{10} 64}{\log_{10} 4} \] Эта задача пользуется свойством изменения основания логарифма или фактически дает значение логарифма с новым основанием: \[ \frac{\log_{10} 64}{\log_{10} 4} = \log_4 64 \] **Шаг 1: Выражаем 64 как степень 4.** \( 64 = 4^3 \). **Шаг 2: Применяем свойство логарифма степени.** \[ \log_4 64 = \log_4 (4^3) = 3 \] **Ответ:** 3 Таким образом, мы получили \(\log_{10} 30\) для первого выражения и 3 для второго.