Найдите значение выражения

Мы видим два выражения, которые необходимо вычислить, используя свойства логарифмов.

Задача 3

\[ 2\log_{10} \sqrt{15} + 0,5\log_{10} 144 - \log_{10} 6 \]

Шаг 1: Преобразуем логарифмы с коэффициентами.

Используем свойство: \( a\log_b x = \log_b (x^a) \).

\[ 2\log_{10} \sqrt{15} = \log_{10} (\sqrt{15})^2 = \log_{10} 15 \]

\[ 0,5\log_{10} 144 = \log_{10} (144)^{0,5} = \log_{10} \sqrt{144} = \log_{10} 12 \]

Теперь выражение станет:

\[ \log_{10} 15 + \log_{10} 12 - \log_{10} 6 \]

Шаг 2: Применяем свойство логарифмов для сложения и вычитания.

Используем свойства:

• \( \log_b x + \log_b y = \log_b (xy) \)
• \( \log_b x - \log_b y = \log_b \left(\frac{x}{y}\right) \)

Получаем:

\[ \log_{10}(15 \times 12) - \log_{10} 6 = \log_{10} \left(\frac{15 \times 12}{6}\right) \]

Шаг 3: Упрощаем аргументы логарифма.

\[ 15 \times 12 = 180 \]

\[ \frac{180}{6} = 30 \]

\[ \log_{10} 30 \]

Ответ: \(\log_{10} 30\).

Задача 4

\[ \frac{\log_{10} 64}{\log_{10} 4} \]

Эта задача пользуется свойством изменения основания логарифма или фактически дает значение логарифма с новым основанием:

\[ \frac{\log_{10} 64}{\log_{10} 4} = \log_4 64 \]

Шаг 1: Выражаем 64 как степень 4.

\( 64 = 4^3 \).

Шаг 2: Применяем свойство логарифма степени.

\[ \log_4 64 = \log_4 (4^3) = 3 \]

Ответ: 3

Таким образом, мы получили \(\log_{10} 30\) для первого выражения и 3 для второго.