Решить задачу

Поскольку задача содержит интеграл, давайте решим его подробно. Нам дан определенный интеграл: \[ \int_{-2}^{3} \left(\sqrt{\frac{x}{2} + 1}\right)^{8} \, dx \] Решим его шаг за шагом. ### Шаг 1: Упростим выражение Выражение \(\left(\sqrt{\frac{x}{2} + 1}\right)^{8}\) равно \(\left(\frac{x}{2} + 1\right)^{4}\). Таким образом, наш интеграл становится: \[ \int_{-2}^{3} \left(\frac{x}{2} + 1\right)^{4} \, dx \] ### Шаг 2: Замена переменных Для упрощения вычислений используем замену переменной. Пусть: \[ u = \frac{x}{2} + 1 \] Тогда производная \(\frac{du}{dx} = \frac{1}{2}\), или \(du = \frac{1}{2} dx\), и следовательно, \(dx = 2 \, du\). Теперь нам нужно изменить пределы интегрирования. Когда \(x = -2\), \[ u = \frac{-2}{2} + 1 = 0 \] Когда \(x = 3\), \[ u = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2} \] ### Шаг 3: Заменим в интеграле Наш интеграл теперь становится: \[ \int_{0}^{\frac{5}{2}} u^{4} \cdot 2 \, du = 2 \int_{0}^{\frac{5}{2}} u^{4} \, du \] ### Шаг 4: Вычисление интеграла Вычислим неопределённый интеграл: \[ \int u^{4} \, du = \frac{u^5}{5} + C \] Теперь вычисляем определённый интеграл: \[ 2 \left[ \frac{u^5}{5} \right]_{0}^{\frac{5}{2}} \] Подставим пределы интегрирования: \[ 2 \left( \frac{\left(\frac{5}{2}\right)^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right) \] \[ = 2 \left( \frac{\frac{3125}{32}}{5} \right) \] \[ = 2 \times \frac{3125}{160} \] \[ = \frac{6250}{160} \] \[ = \frac{625}{16} \] ### Ответ Таким образом, значение интеграла равно \(\frac{625}{16}\).