Решить задачу
Поскольку задача содержит интеграл, давайте решим его подробно.
Нам дан определенный интеграл:
\[ \int_{-2}^{3} \left(\sqrt{\frac{x}{2} + 1}\right)^{8} \, dx \]
Решим его шаг за шагом.
Шаг 1: Упростим выражение
Выражение \(\left(\sqrt{\frac{x}{2} + 1}\right)^{8}\) равно \(\left(\frac{x}{2} + 1\right)^{4}\).
Таким образом, наш интеграл становится:
\[ \int_{-2}^{3} \left(\frac{x}{2} + 1\right)^{4} \, dx \]
Шаг 2: Замена переменных
Для упрощения вычислений используем замену переменной. Пусть:
\[ u = \frac{x}{2} + 1 \]
Тогда производная \(\frac{du}{dx} = \frac{1}{2}\), или \(du = \frac{1}{2} dx\), и следовательно, \(dx = 2 \, du\).
Теперь нам нужно изменить пределы интегрирования. Когда \(x = -2\), \[ u = \frac{-2}{2} + 1 = 0 \]
Когда \(x = 3\), \[ u = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2} \]
Шаг 3: Заменим в интеграле
Наш интеграл теперь становится:
\[ \int_{0}^{\frac{5}{2}} u^{4} \cdot 2 \, du = 2 \int_{0}^{\frac{5}{2}} u^{4} \, du \]
Шаг 4: Вычисление интеграла
Вычислим неопределённый интеграл:
\[ \int u^{4} \, du = \frac{u^5}{5} + C \]
Теперь вычисляем определённый интеграл:
\[ 2 \left[ \frac{u^5}{5} \right]_{0}^{\frac{5}{2}} \]
Подставим пределы интегрирования:
\[ 2 \left( \frac{\left(\frac{5}{2}\right)^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right) \]
\[ = 2 \left( \frac{\frac{3125}{32}}{5} \right) \]
\[ = 2 \times \frac{3125}{160} \]
\[ = \frac{6250}{160} \]
\[ = \frac{625}{16} \]
Ответ
Таким образом, значение интеграла равно \(\frac{625}{16}\).
