Симметричную монету бросают 13 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 9 орлов»?
Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение, так как нам дано количество испытаний и вероятность успеха в каждом из них одинакова.
Пусть:
- \( n = 13 \) - общее количество бросков монеты
- \( k_1 = 5 \) - количество орлов для первого события
- \( k_2 = 9 \) - количество орлов для второго события
- \( p = 0.5 \) - вероятность выпадения орла при броске симметричной монеты
- \( q = 1 - p = 0.5 \) - вероятность выпадения решки при броске монеты
Тогда вероятности событий можно посчитать по формуле биномиального распределения:
\[ P(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]
где \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) - число сочетаний из \( n \) по \( k \).
Для события "выпадет ровно 5 орлов": \[ P_1 = C_{13}^5 \cdot 0.5^5 \cdot 0.5^{13-5} \]
Для события "выпадет ровно 9 орлов": \[ P_2 = C_{13}^9 \cdot 0.5^9 \cdot 0.5^{13-9} \]
Теперь найдем отношение вероятностей:
\[ \frac{P_1}{P_2} = \frac{C_{13}^5 \cdot 0.5^5 \cdot 0.5^{13-5}}{C_{13}^9 \cdot 0.5^9 \cdot 0.5^{13-9}} \]
\[ \frac{P_1}{P_2} = \frac{\frac{13!}{5!(13-5)!} \cdot 0.5^5 \cdot 0.5^8}{\frac{13!}{9!(13-9)!} \cdot 0.5^9 \cdot 0.5^4} \]
\[ \frac{P_1}{P_2} = \frac{\frac{13!}{5!8!} \cdot 0.5^5 \cdot 0.5^8}{\frac{13!}{9!4!} \cdot 0.5^9 \cdot 0.5^4} \]
\[ \frac{P_1}{P_2} = \frac{\frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 0.5^5 \cdot 0.5^8}{\frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 0.5^9 \cdot 0.5^4} \]
\[ \frac{P_1}{P_2} = \frac{336 \cdot 0.5^5 \cdot 0.5^8}{715 \cdot 0.5^9 \cdot 0.5^4} \]
\[ \frac{P_1}{P_2} = \frac{336}{715} \cdot \frac{0.5^5}{0.5^9} \]
\[ \frac{P_1}{P_2} = \frac{336}{715} \cdot 0.5^{-4} \]
\[ \frac{P_1}{P_2} = \frac{336}{715} \cdot 2^4 \]
\[ \frac{P_1}{P_2} = \frac{336}{715} \cdot 16 \]
\[ \frac{P_1}{P_2} = \frac{5376}{715} \]
\[ \frac{P_1}{P_2} \approx 7.52 \]
Таким образом, вероятность события "выпадет ровно 5 орлов" примерно в 7.52 раза больше вероятности события "выпадет ровно 9 орлов".
