Реши

Для исследования сходимости ряда \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{5^{3^{2n}}} \] используем признак сравнения. ### Шаг 1: Обозначим общий член ряда Обозначим общий член данного ряда как: \[ a_n = \frac{3^n}{5^{3^{2n}}} \] ### Шаг 2: Сравнение с известным сходящимся рядом Попробуем сравнить с рядом, член которого имеет вид \(\frac{1}{5^{3^{2n}}}\). Важно понять, что \(3^n\) растет значительно медленнее, чем экспоненциальная часть в знаменателе \(5^{3^{2n}}\), следовательно: \[ a_n = \frac{3^n}{5^{3^{2n}}} < \frac{5^n}{5^{3^{2n}}} = \frac{1}{5^{3^{2n} - n}} \] ### Шаг 3: Исследование сходимости Заметим, что \[ 3^{2n} \quad \text{растет значительно быстрее, чем} \quad n \] Таким образом \[ \frac{1}{5^{3^{2n} - n}} \text{приближается к 0 очень быстро} \] Таким образом, можно утверждать, что ряд \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5^{3^{2n} - n}} \] является сходящимся, так как это ряд с экспоненциально убывающими членами. ### Шаг 4: Признак сравнения Поскольку \( \frac{3^n}{5^{3^{2n}}} \) меньше, чем сходящийся ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5^{3^{2n} - n}} \] то по признаку сравнения, исходный ряд также сходится. ### Заключение Таким образом, ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{5^{3^{2n}}}\) является сходящимся.