Давайте решим задачу шаг за шагом.
Дано:
- Первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй.
- Первый рабочий выполняет заказ из 80 деталей за 1 час быстрее, чем второй.
- Второй рабочий выполняет такой же заказ (из 80 деталей).
Обозначим:
- ( x ) — количество деталей, которые делает второй рабочий за час.
- Тогда первый рабочий за час делает ( x + 4 ) деталей.
Пусть:
- Время, за которое выполняет заказ второй рабочий, — ( t ) часов.
- Тогда второй рабочий за час делает ( x ) деталей, соответственно, за ( t ) часов он сделает 80 деталей:
[
x \times t = 80
]
Откуда:
[
t = \frac{80}{x}
]
Первый рабочий делает за час ( x + 4 ) деталей. Он выполняет тот же заказ за времени, которое на 1 час меньше, то есть за ( t - 1 ) часов, и также должен сделать 80 деталей:
[
(x + 4) \times (t - 1) = 80
]
Подставим выражение ( t = \frac{80}{x} ):
[
(x + 4) \left( \frac{80}{x} - 1 \right) = 80
]
Раскроем скобки:
[
(x + 4) \left( \frac{80 - x}{x} \right) = 80
]
Разделим:
[
\frac{(x + 4)(80 - x)}{x} = 80
]
Домножим обе части на ( x ):
[
(x + 4)(80 - x) = 80x
]
Раскроем скобки слева:
[
x \times 80 - x^2 + 4 \times 80 - 4x = 80x
]
Преобразуем:
[
80x - x^2 + 320 - 4x = 80x
]
Перенесем все в левую сторону:
[
80x - x^2 + 320 - 4x - 80x = 0
]
Объединим похожие:
[
(80x - 80x - 4x) - x^2 + 320 = 0
]
[
-4x - x^2 + 320 = 0
]
или
[
Домножим обе части на -1, чтобы убрать минусы:
[
x^2 + 4x - 320 = 0
]
Теперь решим квадратное уравнение:
[
x^2 + 4x - 320 = 0
]
Посчитаем дискриминант:
[
D = 4^2 - 4 \times 1 \times (-320) = 16 + 1280 = 1296
]
Корни:
[
x = \frac{-4 \pm \sqrt{1296}}{2}
]
(\sqrt{1296} = 36), значит:
[
x = \frac{-4 \pm 36}{2}
]
Два варианта:
- (\displaystyle x = \frac{-4 + 36}{2} = \frac{32}{2} = 16 )
- (\displaystyle x = \frac{-4 - 36}{2} = \frac{-40}{2} = -20 )
Так как количество деталей за час не может быть отрицательным, выбираем ( x = 16 ).
Ответ: Второй рабочий делает 16 деталей в час.
