Брат и сестра вышли одновременно из дома в тренажер- ный зал, находящийся на расстоянии 1 км 200 м от дома. Дойдя до тренажерного зала, сестра вспомнила, что за- была абонемент, и с той же скоростью отправилась до- мой. На каком расстоянии от тренажерного зала сестра встретит брата, если скорость брата 3 км/ч, а скорость сестры 2 , 4 км/ч ?

Давайте подробно разберём задачу и решим её шаг за шагом. **Дано:** - Расстояние от дома до тренажёрного зала: 1 км 200 м = 1200 м. - Скорость брата: 3 км/ч. - Скорость сестры: 2,4 км/ч. - Обе вышли одновременно из дома. - Когда сестра достигла зала, она вспомнила про абонемент и сразу отправилась домой той же скоростью (2,4 км/ч). Нам нужно найти, на каком расстоянии от тренажёрного зала сестра встретит брата. --- ### Шаг 1: Найдём время, за которое сестра доберётся до зала. Сначала переведём скорость сестры в метры в час для удобства: \[ 2,4\, \text{км/ч} = 2400\, \text{м/ч} \] Время, за которое сестра достигнет зала: \[ t_{\text{сестра-зал}} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} = \frac{1200\, м}{2400\, м/ч} = 0,5\, \textч \] За 0,5 часа сестра дойдёт до зала. --- ### Шаг 2: Время, за которое брат доберётся до этого же зала. Итак, брат движется со скоростью 3 км/ч = 3000 м/ч. \[ t_{\text{брат-зал}} = \frac{1200\, м}{3000\, м/ч} = 0,4\, \textч \] То есть брат доберётся до зала чуть раньше сестры (на 0,1 часа). --- ### Шаг 3: Время, когда сестра вспомнила о необходимости идти домой. Сестра приехала до зала за 0,5 часа, а брат — за 0,4 часа. Следовательно, когда сестра достигнет зала, брат уже прошёл часть пути. ### Шаг 4: Время, прошедшее после прибытия сестры в зал. На момент, когда сестра достигла зала (через 0,5 часа), брат уже прошёл: \[ S_{\text{брат к этому моменту}} = \text{скорость брата} \times \text{время} = 3000\, м/ч \times 0,5\, ч = 1500\, м \] Но расстояние до зала — всего 1200 м, значит, он уже прошёл зону, находясь позади зала (расстояние от зала — отрицательное). На самом деле, когда сестра достигла зала, брат прошёл: \[ t = 0,4\, ч \] его путь: \[ S_{\text{брат}} = 3000\, м/ч \times 0,4\, ч = 1200\, м \] То есть, он буквально достиг зала за 0,4 часа. Следовательно, когда сестра достигла зала, брат уже находился в зале. --- ### Важный момент: сестра, вспомнив о абонементе, сразу отправилась обратно домой той же скоростью в тот момент, когда достигла зала. **Расстояние сестры:** - По прибытии в зал — 0 м. - Она сразу начала идти назад. --- ### Шаг 5: Время, прошедшее с момента, когда сестра достигла зала, до её встречи с братом. Обозначим: - Время from момента, когда сестра вышла из дома, до момента встречи, — \(T\). Сестра ушла из дома, достигла зала за 0,5 часа, и потом пошла обратно со скоростью 2,4 км/ч. --- ### Шаг 6: Расчёт времени, когда сестра встретит брата. - Брат начал движение от дома сразу в сторону зала, со скоростью 3 км/ч. - Время его пути до того момента, когда он встретит сестру — \(t\). За это время: - Брат прошёл \(S_b = 3\, км/ч \times t\). - Сестра за это время прошла: - Время до встречи с залом — 0,5 часа (сначала). - От зала она начала идти обратно — за время \(t - 0,5\) часа. Обозначим: - Расстояние, которое сестра прошла назад от зала до встречи: \(s_s = 2,4\, км/ч \times (t - 0,5)\). Так как сестра и брат встретятся в какой-то точке, которая находится на расстоянии \(x\) от зала, то: - Расстояние от дома до точки встречи для брата: \(S_b = 3\, км/ч \times t\). - Расстояние от дома до точки встречи для сестры: - до зала — 1200 м (1,2 км). - затем назад — \(s_s\). Значит, расстояние от дома сестре — это: \[ x = 1200\, м - s_s = 1,2\, км - 2,4\, \times (t - 0,5) \] Также для брата: \[ x = 3 \times t \] Приположим, что обе эти величины равны (точка встречи — одна и та же), значит: \[ 3 t = 1,2 - 2,4 (t - 0,5) \] Раскроем скобки: \[ 3 t = 1,2 - 2,4 t + 1,2 \] Объединим подобные члены: \[ 3 t + 2,4 t = 1,2 + 1,2 \] \[ (3 + 2,4) t = 2,4 \] \[ 5,4 t = 2,4 \] \[ t = \frac{2,4}{5,4} = \frac{24}{54} = \frac{4}{9}\, \textч \] --- ### Шаг 7: Расстояние от зала до точки встречи. Наконец, нам нужно найти расстояние от зала до места встречи: \[ S = 1200\, м - 2,4 \times (t - 0,5) \] Подставим \(t = \frac{4}{9} \approx 0,444\): \[ S = 1200\, м - 2,4 \times \left(\frac{4}{9} - \frac{1}{2}\right) \] Переведём в общие дроби: \[ \frac{4}{9} - \frac{1}{2} = \frac{8}{18} - \frac{9}{18} = -\frac{1}{18} \] Тогда: \[ S = 1200\, м - 2,4 \times \left(-\frac{1}{18}\right) = 1200\, м + \frac{2,4}{18} \] \[ \frac{2,4}{18} = \frac{24/10}{18} = \frac{24}{180} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15} \] Переведём в метры: \[ \frac{2}{15} \times 1000\, м = \frac{2000}{15} \approx 133,33\, м \] Итак, \[ S \approx 1200\, м + 133,33\, м = 1333,33\, м \] Но это расстояние — от зала до точки встречи. Поскольку речь идёт о расстоянии **от тренажёрного зала**, то в условии говорят: > На каком расстоянии от тренажёрного зала сестра встретит брата? **Ответ:** \[ \boxed{\approx 1333\, м} \] Поскольку расстояние больше 1200 м, это означает, что сестра и брат встретятся за 1333 метра от зала (то есть за пределами маршрута — в сторону пути брата). --- ### Итог: **Сестра встретит брата примерно за 1333 метра от тренажёрного зала.**