Брат и сестра вышли одновременно из дома в тренажер- ный зал, находящийся на расстоянии 1 км 200 м от дома. Дойдя до тренажерного зала, сестра вспомнила, что за- была абонемент, и…
Брат и сестра вышли одновременно из дома в тренажер- ный зал, находящийся на расстоянии 1 км 200 м от дома. Дойдя до тренажерного зала, сестра вспомнила, что за- была абонемент, и с той же скоростью отправилась до- мой. На каком расстоянии от тренажерного зала сестра встретит брата, если скорость брата 3 км/ч, а скорость сестры 2 , 4 км/ч ?
Давайте подробно разберём задачу и решим её шаг за шагом.
Дано:
- Расстояние от дома до тренажёрного зала: 1 км 200 м = 1200 м.
- Скорость брата: 3 км/ч.
- Скорость сестры: 2,4 км/ч.
- Обе вышли одновременно из дома.
- Когда сестра достигла зала, она вспомнила про абонемент и сразу отправилась домой той же скоростью (2,4 км/ч).
Нам нужно найти, на каком расстоянии от тренажёрного зала сестра встретит брата.
Шаг 1: Найдём время, за которое сестра доберётся до зала.
Сначала переведём скорость сестры в метры в час для удобства: \[ 2,4\, \text{км/ч} = 2400\, \text{м/ч} \]
Время, за которое сестра достигнет зала: \[ t_{\text{сестра-зал}} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} = \frac{1200\, м}{2400\, м/ч} = 0,5\, \textч \]
За 0,5 часа сестра дойдёт до зала.
Шаг 2: Время, за которое брат доберётся до этого же зала.
Итак, брат движется со скоростью 3 км/ч = 3000 м/ч. \[ t_{\text{брат-зал}} = \frac{1200\, м}{3000\, м/ч} = 0,4\, \textч \]
То есть брат доберётся до зала чуть раньше сестры (на 0,1 часа).
Шаг 3: Время, когда сестра вспомнила о необходимости идти домой.
Сестра приехала до зала за 0,5 часа, а брат — за 0,4 часа.
Следовательно, когда сестра достигнет зала, брат уже прошёл часть пути.
Шаг 4: Время, прошедшее после прибытия сестры в зал.
На момент, когда сестра достигла зала (через 0,5 часа), брат уже прошёл: \[ S_{\text{брат к этому моменту}} = \text{скорость брата} \times \text{время} = 3000\, м/ч \times 0,5\, ч = 1500\, м \]
Но расстояние до зала — всего 1200 м, значит, он уже прошёл зону, находясь позади зала (расстояние от зала — отрицательное).
На самом деле, когда сестра достигла зала, брат прошёл: \[ t = 0,4\, ч \] его путь: \[ S_{\text{брат}} = 3000\, м/ч \times 0,4\, ч = 1200\, м \] То есть, он буквально достиг зала за 0,4 часа.
Следовательно, когда сестра достигла зала, брат уже находился в зале.
Важный момент: сестра, вспомнив о абонементе, сразу отправилась обратно домой той же скоростью в тот момент, когда достигла зала.
Расстояние сестры:
- По прибытии в зал — 0 м.
- Она сразу начала идти назад.
Шаг 5: Время, прошедшее с момента, когда сестра достигла зала, до её встречи с братом.
Обозначим:
- Время from момента, когда сестра вышла из дома, до момента встречи, — \(T\).
Сестра ушла из дома, достигла зала за 0,5 часа, и потом пошла обратно со скоростью 2,4 км/ч.
Шаг 6: Расчёт времени, когда сестра встретит брата.
- Брат начал движение от дома сразу в сторону зала, со скоростью 3 км/ч.
- Время его пути до того момента, когда он встретит сестру — \(t\).
За это время:
Брат прошёл \(S_b = 3\, км/ч \times t\).
Сестра за это время прошла:
- Время до встречи с залом — 0,5 часа (сначала).
- От зала она начала идти обратно — за время \(t - 0,5\) часа.
Обозначим:
- Расстояние, которое сестра прошла назад от зала до встречи: \(s_s = 2,4\, км/ч \times (t - 0,5)\).
Так как сестра и брат встретятся в какой-то точке, которая находится на расстоянии \(x\) от зала, то:
Расстояние от дома до точки встречи для брата: \(S_b = 3\, км/ч \times t\).
Расстояние от дома до точки встречи для сестры:
- до зала — 1200 м (1,2 км).
- затем назад — \(s_s\).
Значит, расстояние от дома сестре — это:
\[ x = 1200\, м - s_s = 1,2\, км - 2,4\, \times (t - 0,5) \]
Также для брата:
\[ x = 3 \times t \]
Приположим, что обе эти величины равны (точка встречи — одна и та же), значит:
\[ 3 t = 1,2 - 2,4 (t - 0,5) \]
Раскроем скобки:
\[ 3 t = 1,2 - 2,4 t + 1,2 \]
Объединим подобные члены:
\[ 3 t + 2,4 t = 1,2 + 1,2 \]
\[ (3 + 2,4) t = 2,4 \]
\[ 5,4 t = 2,4 \]
\[ t = \frac{2,4}{5,4} = \frac{24}{54} = \frac{4}{9}\, \textч \]
Шаг 7: Расстояние от зала до точки встречи.
Наконец, нам нужно найти расстояние от зала до места встречи:
\[ S = 1200\, м - 2,4 \times (t - 0,5) \]
Подставим \(t = \frac{4}{9} \approx 0,444\):
\[ S = 1200\, м - 2,4 \times \left(\frac{4}{9} - \frac{1}{2}\right) \]
Переведём в общие дроби:
\[ \frac{4}{9} - \frac{1}{2} = \frac{8}{18} - \frac{9}{18} = -\frac{1}{18} \]
Тогда:
\[ S = 1200\, м - 2,4 \times \left(-\frac{1}{18}\right) = 1200\, м + \frac{2,4}{18} \] \[ \frac{2,4}{18} = \frac{24/10}{18} = \frac{24}{180} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15} \]
Переведём в метры:
\[ \frac{2}{15} \times 1000\, м = \frac{2000}{15} \approx 133,33\, м \]
Итак,
\[ S \approx 1200\, м + 133,33\, м = 1333,33\, м \]
Но это расстояние — от зала до точки встречи. Поскольку речь идёт о расстоянии от тренажёрного зала, то в условии говорят:
На каком расстоянии от тренажёрного зала сестра встретит брата?
Ответ:
\[ \boxed{\approx 1333\, м} \]
Поскольку расстояние больше 1200 м, это означает, что сестра и брат встретятся за 1333 метра от зала (то есть за пределами маршрута — в сторону пути брата).
Итог:
Сестра встретит брата примерно за 1333 метра от тренажёрного зала.
