Давайте разберем задачу по шагам и подробно объясним процесс решения.
Дано:
- Случайная величина ( T ) имеет геометрическое распределение.
- Вероятность успеха ( p = 0,62 ).
- Нужно найти значения вероятностей для ( T = 0, 1, 2, 3 ).
- Затем вычислить дисперсию случайной величины ( T ).
1. Геометрическое распределение
Обычно под геометрическим распределением понимается вероятность того, что при серии независимых испытаний с вероятностью успеха ( p ):
- ( T ) — число неудач перед первым успехом (если начинаем считать с 0), или
- ( T ) — номер испытания, на котором произошел успех (если считаем с 1).
В данной задаче судя по формулировке, ( T ) — число попыток до первого успеха, включая успешную (то есть ( T = 0 ), если успех произошел сразу).
Для данного типа геометрического распределения вероятность:
[
P(T = k) = (1 - p)^k p,\quad k=0,1,2,\ldots
]
где:
- ( p ) — вероятность успеха,
- ( (1 - p)^k ) — вероятность того, что первые ( k ) попыток были неудачными, а следующая — успешной.
2. Вычисление вероятностей для ( T = 0, 1, 2, 3 )
Подставим ( p = 0,62 ):
[
P(T = k) = (1 - 0,62)^k \times 0,62 = (0,38)^k \times 0,62
]
Для ( T = 0 ):
[
P(0) = (0,38)^0 \times 0,62 = 1 \times 0,62 = 0,62
]
Для ( T = 1 ):
[
P(1) = (0,38)^1 \times 0,62 = 0,38 \times 0,62 = 0,2356
]
Для ( T = 2 ):
[
P(2) = (0,38)^2 \times 0,62 = (0,38^2) \times 0,62 = 0,1444 \times 0,62 = 0,0897
]
Для ( T = 3 ):
[
P(3) = (0,38)^3 \times 0,62 = (0,38^3) \times 0,62 \approx 0,0549 \times 0,62 = 0,0340
]
Итоговые значения вероятностей (округленные до тысячных):
| ( T ) |
Вероятность ( P(T) ) |
| 0 |
0,620 |
| 1 |
0,236 |
| 2 |
0,090 |
| 3 |
0,034 |
3. Вычисление дисперсии случайной величины ( T )
Для геометрического распределения (имеющего начало с 0) дисперсия рассчитывается по формуле:
[
\text{Var}(T) = \frac{1 - p}{p^2}
]
Подставим ( p = 0,62 ):
[
\text{Var}(T) = \frac{1 - 0,62}{(0,62)^2} = \frac{0,38}{0,3844} \approx 0,987
]
Ответ — дисперсия равна примерно 0,987.
Итог:
Если нужны дополнительные объяснения или помощь, обращайтесь!
