Случайная величина Т имеет геометрическое распределение, при котором р = 0,62. Заполни ячейки в ряду распределения при T от 0 до 3, а затем вычисли дисперсию величины Т. (Все…
Случайная величина Т имеет геометрическое распределение, при котором р = 0,62. Заполни ячейки в ряду распределения при T от 0 до 3, а затем вычисли дисперсию величины Т. (Все результаты округляй до тысячных.)
Давайте разберем задачу по шагам и подробно объясним процесс решения.
Дано:
- Случайная величина \( T \) имеет геометрическое распределение.
- Вероятность успеха \( p = 0,62 \).
- Нужно найти значения вероятностей для \( T = 0, 1, 2, 3 \).
- Затем вычислить дисперсию случайной величины \( T \).
1. Геометрическое распределение
Обычно под геометрическим распределением понимается вероятность того, что при серии независимых испытаний с вероятностью успеха \( p \):
- \( T \) — число неудач перед первым успехом (если начинаем считать с 0), или
- \( T \) — номер испытания, на котором произошел успех (если считаем с 1).
В данной задаче судя по формулировке, \( T \) — число попыток до первого успеха, включая успешную (то есть \( T = 0 \), если успех произошел сразу).
Для данного типа геометрического распределения вероятность: \[ P(T = k) = (1 - p)^k p,\quad k=0,1,2,\ldots \] где:
- \( p \) — вероятность успеха,
- \( (1 - p)^k \) — вероятность того, что первые \( k \) попыток были неудачными, а следующая — успешной.
2. Вычисление вероятностей для \( T = 0, 1, 2, 3 \)
Подставим \( p = 0,62 \):
\[ P(T = k) = (1 - 0,62)^k \times 0,62 = (0,38)^k \times 0,62 \]
Для \( T = 0 \):
\[ P(0) = (0,38)^0 \times 0,62 = 1 \times 0,62 = 0,62 \]
Для \( T = 1 \):
\[ P(1) = (0,38)^1 \times 0,62 = 0,38 \times 0,62 = 0,2356 \]
Для \( T = 2 \):
\[ P(2) = (0,38)^2 \times 0,62 = (0,38^2) \times 0,62 = 0,1444 \times 0,62 = 0,0897 \]
Для \( T = 3 \):
\[ P(3) = (0,38)^3 \times 0,62 = (0,38^3) \times 0,62 \approx 0,0549 \times 0,62 = 0,0340 \]
Итоговые значения вероятностей (округленные до тысячных):
| \( T \) | Вероятность \( P(T) \) |
|---|---|
| 0 | 0,620 |
| 1 | 0,236 |
| 2 | 0,090 |
| 3 | 0,034 |
3. Вычисление дисперсии случайной величины \( T \)
Для геометрического распределения (имеющего начало с 0) дисперсия рассчитывается по формуле:
\[ \text{Var}(T) = \frac{1 - p}{p^2} \]
Подставим \( p = 0,62 \):
\[ \text{Var}(T) = \frac{1 - 0,62}{(0,62)^2} = \frac{0,38}{0,3844} \approx 0,987 \]
Ответ — дисперсия равна примерно 0,987.
Итог:
Вероятности:
- \( P(0) \approx 0,620 \)
- \( P(1) \approx 0,236 \)
- \( P(2) \approx 0,090 \)
- \( P(3) \approx 0,034 \)
Дисперсия величины \( T \) примерно равна 0,987.
Если нужны дополнительные объяснения или помощь, обращайтесь!
