Давайте по порядку решим каждую задачу с подробными объяснениями.
1. Найти длину вектора ( 4\vec{a} - 4\vec{b} - 2\vec{c} )
Дано:
- (\vec{a} = (3, 9))
- (\vec{b} = (-6, -6))
- (\vec{c} = (-6, -2))
Шаг 1: Найти каждый вектор с коэффициентами:
[
4\vec{a} = 4 \times (3, 9) = (12, 36)
]
[
-4\vec{b} = -4 \times (-6, -6) = (24, 24)
]
[
-2\vec{c} = -2 \times (-6, -2) = (12, 4)
]
Шаг 2: Сложить полученные векторы:
[
\vec{u} = 4\vec{a} - 4\vec{b} - 2\vec{c} = (12, 36) + (24, 24) + (12, 4)
]
Сложение координат поэлементно:
[
x = 12 + 24 + 12 = 48
]
[
y = 36 + 24 + 4 = 64
]
Итак, вектор: (\vec{u} = (48, 64))
Шаг 3: Найти длину вектора (\vec{u}):
[
|\vec{u}| = \sqrt{48^2 + 64^2} = \sqrt{2304 + 4096} = \sqrt{6400} = 80
]
Ответ: Длина вектора равна 80
2. Найти скалярное произведение векторов (\vec{a}) и (\vec{b}), если (\vec{a} = (9, 6)) и (\vec{b} = (-1, \text{?}))**
Обратите внимание, в условии не хватает второго компонента (\vec{b}). Предположу, что это опечатка и необходимо найти скалярное произведение с неизвестным компонентом. В таком случае, если (\vec{b} = (-1, y)), то формула скалярного произведения:
[
\vec{a} \cdot \vec{b} = 9 \times (-1) + 6 \times y = -9 + 6y
]
Чтобы найти конкретное число, нужна дополнительная информация. Пожалуйста, уточните, если предположения неверны, или предоставьте полный вектор (\vec{b}).
3. При каком значении (x) векторы (\vec{a} = (12, -3)) и (\vec{b} = (x, -8)) перпендикулярны?
Формула перпендикулярности:
[
\vec{a} \cdot \vec{b} = 0
]
Подставим:
[
12 \times x + (-3) \times (-8) = 0
]
[
12x + 24 = 0
]
Решаем:
[
12x = -24 \Rightarrow x = -2
]
Ответ: ( x = -2 )
4. При каком значении (x) векторы (\vec{d} = (x, 3)) и (\vec{b} = (81, 27)) коллинеарны?
Векторы коллинеарны, если:
[
\vec{d} = \lambda \vec{b}
]
или, альтернативно, их компоненты пропорциональны:
[
\frac{x}{81} = \frac{3}{27}
]
[
\frac{x}{81} = \frac{1}{9}
]
Решаем:
[
x = 81 \times \frac{1}{9} = 9
]
Ответ: ( x = 9 )
5. При каком наибольшем значении (x) модуль вектора ( \overrightarrow{SP} ) равен 75, если ( S(1, -7) ), ( P(x, 65) )?
Формула модуля вектора ( \overrightarrow{SP} = (x - 1, 65 + 7) = (x - 1, 72) )
Нам нужно:
[
|\overrightarrow{SP}| = 75
]
то есть:
[
\sqrt{(x - 1)^2 + 72^2} = 75
]
в квадрате:
[
(x - 1)^2 + 5184 = 5625
]
[
(x - 1)^2 = 5625 - 5184 = 441
]
[
x - 1 = \pm \sqrt{441} = \pm 21
]
Значения:
[
x = 1 + 21 = 22
]
[
x = 1 - 21 = -20
]
Наибольшее значение (x): 22
Итоги:
- Длина вектора: 80
- Скалл. произведение (\vec{a}) и (\vec{b}): необходимо уточнение
- (x = -2)
- (x = 9)
- (x = 22)
Если есть вопросы по отдельным задачам или нужно более подробно, скажите!
