3)Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см ,а боковое ребро образуется плоскостью основания угол 45°. Найдите объём пирамиды.
Давайте разберём задачу по шагам и найдём объём правильной треугольной пирамиды.
Дано:
- Сторона основания (правильного треугольника) \( а = 6 \text{ см} \).
- Боковое ребро (ребро, соединяющее вершину с вершиной основания) образует с плоскостью основания угол \( 45^\circ \).
Нам нужно найти объем пирамиды.
Шаг 1. Обозначения и схема задачи
Обозначим:
- Основание — равносторонний треугольник со стороной \( а = 6 \text{ см} \).
- Вершина пирамиды — точка \( S \).
- Центр основания \( O \).
Боковое ребро — \( SB \) (где \( B \) — произвольная вершина основания).
Шаг 2. Находим высоту основания
Для равностороннего треугольника: \[ h_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6 = 3\sqrt{3} \text{ см} \] Это высота от вершины треугольника к его стороне.
Шаг 3. Определяем положение вершины \( S \)
Боковое ребро \( SB \) образует с плоскостью основания угол \( 45^\circ \).
- Пусть \( S \) находится на высоте \( h \) над плоскостью основания.
- Тогда расстояние от \( S \) до любой точки основания будет равно длине бокового ребра \( SB \).
Если \( \alpha = 45^\circ \) — угол между ребром и плоскостью основания, то: \[ \cos 45^\circ = \frac{\text{проектировка ребра на плоскость}}{SB} \]
Проектировка — это координата по вертикали, она равна \( h \).
Пусть длина бокового ребра \( SB = l \). Тогда: \[ h = l \times \sin 45^\circ = l \times \frac{\sqrt{2}}{2} \] Нам нужно выразить \( l \). Для такого типа пирамиды обычно предполагается, что вершина \( S \) лежит над центром основания \( O \). Тогда:
\[ h = l \sin 45^\circ \]
Но есть важный момент: поскольку расстояние от вершины \( S \) до любой точки основания равно длине бокового ребра, то \( l \) — участок, соединяющий \( S \) с вершинами основания.
Шаг 4. Находим высоту \( S \) над центром основания
Поскольку вершина \( S \) находится над центром основания, высота \( S \) — это перпендикуляр, опустившийся из \( S \) в \( O \). Тогда:
\[ h = l \sin 45^\circ \]
Также, проектировка \( S \) в центр основания — в точку \( O \). Поэтому:
\[ \text{расстояние от \( S \) до основания} = h \] и это соответствует длине бокового ребра \( l \) по вертикали.
Шаг 5. Связь между боковым ребром \( l \) и высотой \( h \)
На вершине правильной треугольной пирамиды:
- Вершина \( S \) находится на высоте \( h \),
- расстояние от \( S \) до любой вершины основания равно \( l \),
- Расстояние от \( O \) до любой вершины основания (например, \( B \)) равно радиусу окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равному:
\[ \text{радиус вписанной окружности} = r = \frac{a \sqrt{3}}{6} = \frac{6 \times \sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}\text{ см} \]
Шаг 6. Используем геометрическую зависимость
Рассмотрим треугольник с вершинами \( S \), центром основания \( O \), и вершиной \( B \). Расстояние \( OB \): \[ OB = r = \sqrt{3} \] Высота \( S \) расположена над \( O \), тогда:
\[ l^2 = h^2 + r^2 \]
где \( l \) — длина бокового ребра, а \( h \) — его вертикальная проекция.
Из условия:
\[ h = l \sin 45^\circ = l \times \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Подставим \( h \):
\[ l^2 = \left( l \times \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + (\sqrt{3})^2 \] \[ l^2 = l^2 \times \frac{1}{2} + 3 \] \[ l^2 - \frac{1}{2} l^2 = 3 \] \[ \frac{1}{2} l^2 = 3 \] \[ l^2 = 6 \] \[ l = \sqrt{6} \text{ см} \]
Тогда высота \( h \):
\[ h = l \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{6} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{12}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \text{ см} \]
Ответ:
Высота пирамиды \( h = \sqrt{3} \text{ см} \).
Шаг 7. Находим объём пирамиды
Объём правильной треугольной пирамиды:
\[ V = \frac{1}{3} \times \text{площадь основания} \times \text{высоту} \]
Площадь основания (равносторонний треугольник):
\[ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 9\sqrt{3} \text{ см}^2 \]
Тогда объём:
\[ V = \frac{1}{3} \times 9\sqrt{3} \times \sqrt{3} = \frac{1}{3} \times 9\sqrt{3} \times \sqrt{3} \]
Здесь: \[ \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3 \]
Итак:
\[ V = \frac{1}{3} \times 9\sqrt{3} \times 3 = \frac{1}{3} \times 9 \times 3 \times \sqrt{3} = \frac{1}{3} \times 27 \sqrt{3} = 9 \sqrt{3} \text{ см}^3 \]
Итог:
Объём пирамиды равен \( \boxed{9 \sqrt{3} \text{ см}^3} \).
