Рассмотрим задачу шаг за шагом.
Обозначения:
- Пусть скорость профессионала — (v_p) (в км/ч).
- Скорость любителя — (v_l = v_p - 20) (в км/ч).
Дано:
- Длина дистанции — 60 км.
- Любитель приехал на 15 минут (то есть (\frac{15}{60} = \frac{1}{4}) часа) позже профессионала.
Нам нужно найти скорость любителя (v_l).
Шаг 1. Записываем выражения для времени в пути.
Время, затраченное профессионалом:
[
t_p = \frac{S}{v_p} = \frac{60}{v_p}
]
Время, затраченное любителем:
[
t_l = \frac{S}{v_l} = \frac{60}{v_p - 20}
]
Шаг 2. Условие разницы во времени.
Любитель приехал на 15 минут позже профессионала:
[
t_l = t_p + \frac{1}{4}
]
Подставляем выражения:
[
\frac{60}{v_p - 20} = \frac{60}{v_p} + \frac{1}{4}
]
Шаг 3. Решаем уравнение относительно (v_p).
Переносим компоненты:
[
\frac{60}{v_p - 20} - \frac{60}{v_p} = \frac{1}{4}
]
Находим общий знаменатель левой части:
[
\frac{60v_p - 60(v_p - 20)}{v_p(v_p - 20)} = \frac{1}{4}
]
Раскрываем скобки:
[
\frac{60v_p - 60v_p + 1200}{v_p(v_p - 20)} = \frac{1}{4}
]
Упрощение числителя:
[
\frac{1200}{v_p(v_p - 20)} = \frac{1}{4}
]
Шаг 4. Решение уравнения.
Перемножим обе части на (v_p(v_p - 20)):
[
1200 = \frac{v_p(v_p - 20)}{4}
]
Умножим обе части на 4:
[
4 \times 1200 = v_p(v_p - 20)
]
Получаем:
[
4800 = v_p^2 - 20v_p
]
Это квадратное уравнение:
[
v_p^2 - 20v_p - 4800 = 0
]
Шаг 5. Решаем квадратное уравнение.
Используем формулу корней:
[
v_p = \frac{20 \pm \sqrt{(-20)^2 - 4 \times 1 \times (-4800)}}{2}
]
Вычисляем дискриминант:
[
D = 400 + 19200 = 19600
]
Находим корень из дискриминанта:
[
\sqrt{19600} = 140
]
Следовательно, два решения:
[
v_p = \frac{20 \pm 140}{2}
]
- Первое:
[
v_p = \frac{20 + 140}{2} = \frac{160}{2} = 80
]
- Второе:
[
v_p = \frac{20 - 140}{2} = \frac{-120}{2} = -60
]
Не может быть отрицательной скорость, значит, выберем (v_p = 80) км/ч.
Шаг 6. Находим скорость любителя.
[
v_l = v_p - 20 = 80 - 20 = 60 \text{ км/ч}
]
Итог:
Скорость велосипедиста-любителя — (\boxed{60}) км/ч.
