Решить задачу по вероятности
Давайте решим задачу пошагово.
Задача:
- В ситуации с тройным бросанием монеты:
- Найти условную вероятность того, что Ваня достанет 3 черных ручки, при условии, что в первый раз выпала решка.
- Также нужно найти вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
Часть 1: Условная вероятность того, что Ваня достанет 3 черных ручки при условии, что в первый раз выпала решка
Предположения и обозначения:
- В игре есть три шанса: три броска.
- Монета — симметричная, вероятность each side = 1/2.
- В каждом броске могут выпасть "орёл" или "решка".
- После броска с решкой, Ваня берет черную ручку, после с орлом — белую.
- В условии говорится: "при условии, что в первый раз выпала решка" — это говорит, что первый бросок закончился решкой.
Задача:
- Какие последовательности из трёх бросков возможны, если первый бросок — решка (Р)?
- Какова вероятность, что в сумме Ваня достанет 3 черных ручки, при условии, что первый бросок — решка?
1. Распределение возможных исходов:
- Первый бросок: решка (Р), вероятность = 1/2.
- Остальные два броска — могут быть орёл или решка.
Обозначения:
- Решка = Р (черная ручка).
- Орёл = О (белая ручка).
2. Вероятность, что Ваня получит 3 черных ручки, при условии, что первый бросок — решка
- Так как первый бросок — решка, то Ваня получил 1 черную ручку.
- Остальные два броска - тоже могут быть решкой или орлом.
Чтобы всего было 3 черные ручки, оба оставшихся броска тоже должны дать решки:
- Второй бросок: решка (Р).
- Третий бросок: решка (Р).
Вероятность каждого из оставшихся бросков равна 1/2.
Параметры:
- Вероятность первого броска = 1/2, так как решка.
- Вероятность второго броска (решка) = 1/2.
- Вероятность третьего броска (решка) = 1/2.
Общая вероятность:
\[ P(\text{первый — решка, остальные — решка}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \]
3. Нормировка по условию — условная вероятность
Нам нужно найти условную вероятность, что все три броска — решки (чтобы получить 3 черные ручки), при условии, что в первый был решка.
Общее число возможных вариантов, когда первый — решка:
- Далее возможны 4 варианта для оставшихся двух бросков:
(Р,Р), (Р,О), (О,Р), (О,О).
Вероятность каждого — 1/4, так как у каждого есть два варианта для второго и третьего броска.
- Далее возможны 4 варианта для оставшихся двух бросков:
Вероятный интересующий исход — только при втором и третьем броске — решки (Р,Р).
Таким образом, вероятность, что после условия первый — решка, и все три — решки:
\[ P_{\text{все три — решки | первый — решка}} = \frac{\text{вероятность, что все три — решки}}{\text{вероятность, что первый — решка}} \]
Вероятность, что первый — решка: 1/2.
Вероятность, что все три — решки: 1/8 (как посчитано ранее).
Вероятность, что первый — решка, а все три — решки:
\[ P(\text{все три — решки и первый — решка}) = \frac{1}{8} \]
- После этого, условная вероятность:
\[ \boxed{ P(\text{все три — решки | первый — решка}) = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}} = \frac{1/8}{1/2} = \frac{1/8}{4/8} = \frac{1}{4} } \]
Ответ к части 1:
Условная вероятность того, что все три — решки, при условии, что в первый раз выпала решка, равна \( \boxed{\frac{1}{4}} \).
Часть 2: Вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз
Обозначения:
В каждом броске вероятности:
- Орёл (О) = 1/2
- Решка (Р) = 1/2
Нам нужно найти вероятность, что среди трёх бросков — ровно один орёл.
1. Считаем варианты:
Возможные последовательности из 3 бросков с ровно одним О:
- О Р Р
- Р О Р
- Р Р О
Вероятность каждого из этих вариантов:
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \]
- Так как вариантов 3 — то общая вероятность:
\[ 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \]
Ответ к части 2:
Вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз, равна \( \boxed{\frac{3}{8}} \).
Итоги:
- Часть 1: Условная вероятность, что Ваня достанет 3 черных ручки, при условии что в первый раз выпала решка — 1/4.
- Часть 2: Вероятность, что орёл выпадет ровно один раз — 3/8.
Если нужны более подробные объяснения или помощь с другой задачей — обращайтесь!
