Решить задачу по вероятности

Давайте решим задачу пошагово. **Задача:** - В ситуации с тройным бросанием монеты: - Найти условную вероятность того, что Ваня достанет 3 черных ручки, при условии, что в первый раз выпала решка. - Также нужно найти вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. --- ### Часть 1: Условная вероятность того, что Ваня достанет 3 черных ручки при условии, что в первый раз выпала решка --- **Предположения и обозначения:** - В игре есть три шанса: три броска. - Монета — симметричная, вероятность each side = 1/2. - В каждом броске могут выпасть "орёл" или "решка". - После броска с решкой, Ваня берет черную ручку, после с орлом — белую. - В условии говорится: "при условии, что в первый раз выпала решка" — это говорит, что первый бросок закончился решкой. **Задача:** - Какие последовательности из трёх бросков возможны, если первый бросок — решка (Р)? - Какова вероятность, что в сумме Ваня достанет 3 черных ручки, при условии, что первый бросок — решка? --- ### 1. Распределение возможных исходов: - Первый бросок: решка (Р), вероятность = 1/2. - Остальные два броска — могут быть орёл или решка. Обозначения: - Решка = Р (черная ручка). - Орёл = О (белая ручка). --- ### 2. Вероятность, что Ваня получит 3 черных ручки, при условии, что первый бросок — решка - Так как первый бросок — решка, то Ваня получил 1 черную ручку. - Остальные два броска - тоже могут быть решкой или орлом. Чтобы всего было 3 черные ручки, оба оставшихся броска тоже должны дать решки: - Второй бросок: решка (Р). - Третий бросок: решка (Р). Вероятность каждого из оставшихся бросков равна 1/2. Параметры: - Вероятность первого броска = 1/2, так как решка. - Вероятность второго броска (решка) = 1/2. - Вероятность третьего броска (решка) = 1/2. Общая вероятность: \[ P(\text{первый — решка, остальные — решка}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \] --- ### 3. Нормировка по условию — условная вероятность Нам нужно найти условную вероятность, что все три броска — решки (чтобы получить 3 черные ручки), при условии, что в первый был решка. - Общее число возможных вариантов, когда первый — решка: - Далее возможны 4 варианта для оставшихся двух бросков: (Р,Р), (Р,О), (О,Р), (О,О). Вероятность каждого — 1/4, так как у каждого есть два варианта для второго и третьего броска. - Вероятный интересующий исход — только при втором и третьем броске — решки (Р,Р). - Таким образом, вероятность, что после условия первый — решка, и все три — решки: \[ P_{\text{все три — решки | первый — решка}} = \frac{\text{вероятность, что все три — решки}}{\text{вероятность, что первый — решка}} \] - Вероятность, что первый — решка: 1/2. - Вероятность, что все три — решки: 1/8 (как посчитано ранее). - Вероятность, что первый — решка, а все три — решки: \[ P(\text{все три — решки и первый — решка}) = \frac{1}{8} \] - После этого, условная вероятность: \[ \boxed{ P(\text{все три — решки | первый — решка}) = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}} = \frac{1/8}{1/2} = \frac{1/8}{4/8} = \frac{1}{4} } \] --- ### **Ответ к части 1:** **Условная вероятность того, что все три — решки, при условии, что в первый раз выпала решка, равна \( \boxed{\frac{1}{4}} \).** --- ### Часть 2: Вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз --- **Обозначения:** - В каждом броске вероятности: - Орёл (О) = 1/2 - Решка (Р) = 1/2 - Нам нужно найти вероятность, что среди трёх бросков — ровно один орёл. --- ### 1. Считаем варианты: - Возможные последовательности из 3 бросков с ровно одним О: 1. О Р Р 2. Р О Р 3. Р Р О - Вероятность каждого из этих вариантов: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \] - Так как вариантов 3 — то общая вероятность: \[ 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \] --- ### **Ответ к части 2:** **Вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз, равна \( \boxed{\frac{3}{8}} \).** --- ## Итоги: - **Часть 1:** Условная вероятность, что Ваня достанет 3 черных ручки, при условии что в первый раз выпала решка — **1/4**. - **Часть 2:** Вероятность, что орёл выпадет ровно один раз — **3/8**. Если нужны более подробные объяснения или помощь с другой задачей — обращайтесь!