Определи площадь поперечного сечения в алюминиевом проводнике массой 400 г, если при силе тока 150 А скорость упорядоченного движения электронов равна 50 • 10-* м/с.
Давайте решим задачу поэтапно и подробно объясним каждый шаг.
Дано:
- Масса алюминиевого проводника, \( m = 400\,г = 0{,}4\,кг \)
- Сила тока, \( I = 150\,А \)
- Скорость упорядоченного движения электронов, \( v = 50 \times 10^{-4}\,м/с = 5 \times 10^{-3}\,м/с \)
Нам нужно найти площадь поперечного сечения проводника, \( S \).
Шаг 1: Определение основных формул
Для электрического проводника, проводящего ток, существует связь между силой тока, скоростью электронов, их зарядом, числом электронов и площадью поперечного сечения:
\[ I = n \cdot e \cdot v \cdot S \]
где:
- \( n \) — концентрация свободных электронов (число электронов в 1 м^3),
- \( e \) — заряд одного электрона (\( e = 1,6 \times 10^{-19}\) Кл),
- \( v \) — скорость электронов (задана),
- \( S \) — площадь поперечного сечения (найдём).
Также потребуется определить \( n \).
Шаг 2: Найдём концентрацию электронов \( n \)
Масса проводника равна 0,4 кг. Алюминий — со средней плотностью \( \rho \approx 2,7\,г/см^3 \) или \( 2670\,кг/м^3 \).
Объём проводника:
\[ V = \frac{m}{\rho} = \frac{0{,}4\,кг}{2670\,кг/м^3} \approx 1,498 \times 10^{-4}\,м^3 \]
Для алюминия известно, что на один атом приходится 3 электрона (на один атом — 3 свободных электрона).
Масса одного атома алюминия:
\[ M_{Al} \approx 27\,г/моль \]
Число молей в проводнике:
\[ n_{molec} = \frac{m}{M_{Al}/1000} = \frac{0,4\,кг}{27\,г/моль} \approx 14,81\,моль \]
Общее число атомов:
\[ N_{atoms} = n_{molec} \times N_A = 14,81 \times 6{,}022 \times 10^{23} \approx 8,91 \times 10^{24} \]
Где \( N_A \) — число Авогадро.
Концентрация свободных электронов:
\[ n = 3 \times N_{atoms} / V \]
Так как атомов \( N_{atoms} \), а каждый атом даёт 3 электрона, то:
\[ n = \frac{3 \times N_{atoms}}{V} = \frac{3 \times 8,91 \times 10^{24}}{1,498 \times 10^{-4}} \approx 1,78 \times 10^{29}\,\text{электронов/м}^3 \]
Шаг 3: Вычисление площади поперечного сечения \( S \)
Используем формулу:
\[ I = n \cdot e \cdot v \cdot S \]
Отсюда:
\[ S = \frac{I}{n \cdot e \cdot v} \]
ПодставимKnown:::
\[ S = \frac{150}{(1,78 \times 10^{29}) \times (1,6 \times 10^{-19}) \times (5 \times 10^{-3})} \]
Вычислим знаменатель:
\[ n \cdot e \cdot v = 1,78 \times 10^{29} \times 1,6 \times 10^{-19} \times 5 \times 10^{-3} \]
Посчитаем пошагово:
- \( 1,78 \times 1,6 = 2,848 \)
- \( 2,848 \times 5 = 14,24 \)
Степени:
\[ 10^{29} \times 10^{-19} \times 10^{-3} = 10^{29 - 19 - 3} = 10^7 \]
Итак, знаменатель:
\[ 14,24 \times 10^{7} = 1,424 \times 10^{8} \]
Теперь площадь:
\[ S = \frac{150}{1,424 \times 10^{8}} \approx 1,052 \times 10^{-6}\,м^2 \]
Ответ:
\[ \boxed{ S \approx 1,05 \times 10^{-6}\,м^2 } \]
или в см²:
\[ S \approx 0,0105\,см^2 \]
Если есть вопросы или нужны дополнительные пояснения — обращайтесь!
