Давайте разберём задачу пошагово и подробно.
Задача:
Вероятность того, что один стартап успешен (удовлетворяет требованиям программы), равна ( p = 0,2 ).
Всего стартапов — 4.
Обозначим случайную величину ( Y ) — число успешных стартапов среди 4.
Нужно найти вероятность, что ровно 3 из них будут успешными: ( P(Y=3) ).
Шаг 1. Определение модели задачи
Это классическая задача на биномиальное распределение, так как:
- каждый стартап — независимое испытание,
- вероятность успеха в каждом — одинаковая, ( p = 0,2 ),
- число испытаний — 4.
Шаг 2. Формула биномиального распределения
Вероятность того, что ровно ( k ) из ( n ) независимых испытаний окажутся успешными, задана формулой:
[
P(Y = k) = C(n, k) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}
]
где:
- ( C(n, k) = \frac{n!}{k! (n - k)!} ) — число сочетаний (биномиальные коэффициенты).
Шаг 3. Подставляем значения
Для нашей ситуации:
- ( n = 4 ),
- ( k = 3 ),
- ( p = 0,2 ).
Нужно найти:
[
P(Y=3) = C(4, 3) \cdot (0,2)^3 \cdot (1 - 0,2)^{4 - 3}
]
Рассчитаем каждый компонент.
Шаг 4. Вычисление биномиального коэффициента
[
C(4, 3) = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{24}{6 \cdot 1} = 4
]
Шаг 5. Вычисление вероятностных степеней
[
(0,2)^3 = 0,2 \times 0,2 \times 0,2 = 0,008
]
[
(1 - 0,2) = 0,8
]
[
0,8^{1} = 0,8
]
Шаг 6. Объединение всех частей
[
P(Y=3) = 4 \times 0,008 \times 0,8
]
Вычислим произведение:
[
4 \times 0,008 = 0,032
]
[
0,032 \times 0,8 = 0,0256
]
Ответ:
[
\boxed{
P(Y=3) \approx 0,0256
}
]
Это примерно 2,56%.
То есть, вероятность того, что из 4 стартапов ровно 3 окажутся успешными, составляет около 2,56%.
