. Вероятность успешного запуска стартапа, удовлетворяющего требованиям программы, равна 0,2. В программе участвуют 4 стартапа. Случайная величина Y — число стартапов,…

Давайте разберём задачу пошагово и подробно.

Задача: Вероятность того, что один стартап успешен (удовлетворяет требованиям программы), равна \( p = 0,2 \).
Всего стартапов — 4.
Обозначим случайную величину \( Y \) — число успешных стартапов среди 4.

Нужно найти вероятность, что ровно 3 из них будут успешными: \( P(Y=3) \).

Шаг 1. Определение модели задачи

Это классическая задача на биномиальное распределение, так как:

• каждый стартап — независимое испытание,
• вероятность успеха в каждом — одинаковая, \( p = 0,2 \),
• число испытаний — 4.

Шаг 2. Формула биномиального распределения

Вероятность того, что ровно \( k \) из \( n \) независимых испытаний окажутся успешными, задана формулой:

\[ P(Y = k) = C(n, k) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \]

где:

• \( C(n, k) = \frac{n!}{k! (n - k)!} \) — число сочетаний (биномиальные коэффициенты).

Шаг 3. Подставляем значения

Для нашей ситуации:

• \( n = 4 \),
• \( k = 3 \),
• \( p = 0,2 \).

Нужно найти:

\[ P(Y=3) = C(4, 3) \cdot (0,2)^3 \cdot (1 - 0,2)^{4 - 3} \]

Рассчитаем каждый компонент.

Шаг 4. Вычисление биномиального коэффициента

\[ C(4, 3) = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{24}{6 \cdot 1} = 4 \]

Шаг 5. Вычисление вероятностных степеней

\[ (0,2)^3 = 0,2 \times 0,2 \times 0,2 = 0,008 \] \[ (1 - 0,2) = 0,8 \] \[ 0,8^{1} = 0,8 \]

Шаг 6. Объединение всех частей

\[ P(Y=3) = 4 \times 0,008 \times 0,8 \]

Вычислим произведение: \[ 4 \times 0,008 = 0,032 \] \[ 0,032 \times 0,8 = 0,0256 \]

Ответ:

\[ \boxed{ P(Y=3) \approx 0,0256 } \]

Это примерно 2,56%.
То есть, вероятность того, что из 4 стартапов ровно 3 окажутся успешными, составляет около 2,56%.