Найдите радиус окружности вписанной в правильный шестиугольник со стороной v3

Давайте разберём задачу по шагам. В ней говорится о правильном шестиугольнике со стороной \(v3\) (предположим, что это означение — корень из 3, то есть \(\sqrt{3}\)). Нужно найти радиус окружности, вписанной в этот шестиугольник. --- ### Шаг 1. Что такое вписанная окружность и правильный шестиугольник? - **Правильный шестиугольник** — это многоугольник с шестью равными сторонами и равными углами. - В **вписанной окружности** (ин-окружности) касаются все стороны многоугольника, её центр — это центр многоугольника. --- ### Шаг 2. Свойства правильного шестиугольника - Высота (расстояние от центра до любой стороны) равна радиусу описанной окружности (окружности, проходящей через все вершины). - Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, называется **инрадиусом** (или радиусом вписанной окружности). ### Шаг 3. Связь между сторонами и радиусом вписанной окружности Для правильного многоугольника радиус вписанной окружности \(r\) выражается через сторону \(a\) следующим образом: \[ r = \frac{a \cdot \cot \frac{\pi}{n}}{2} \] где: - \(a\) — сторона многоугольника, - \(n\) — число сторон (в нашем случае \(n=6\)), - \(\cot\) — котангенс. ### Шаг 4. Подставляем параметры Для правильного шестиугольника \(n=6\), и стороной является \(a = \sqrt{3}\). Подставляем: \[ r = \frac{\sqrt{3} \cdot \cot \frac{\pi}{6}}{2} \] Далее необходимо найти \(\cot \frac{\pi}{6}\). --- ### Шаг 5. Значение \(\cot \frac{\pi}{6}\) \[ \frac{\pi}{6} = 30^\circ \] Известно, что: \[ \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \] Тогда: \[ \cot 30^\circ = \frac{1}{\tan 30^\circ} = \sqrt{3} \] --- ### Шаг 6. Получение окончательного выражения Подставляем: \[ r = \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} \] ### Итог: \[ \boxed{ r = \frac{3}{2} } \] --- ## **Ответ:** Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной \(\sqrt{3}\), равен \(\frac{3}{2}\).