Давайте разберёмся с задачей пошагово.
Задача:
Дана случайная величина ( X ), равномерно распределённая на интервале ([a, b]). Нужно выбрать правильную формулу для преобразования (X) в новую случайную величину ( Y ), которая будет равномерно распределена на отрезке ([c, d]).
Шаг 1: Свойства равномерного распределения
Если ( X \sim U(a, b) ), то ее значение равновероятно может находиться на любом месте между (a) и (b).
Задача — сделать так, чтобы ( Y \sim U(c, d) ).
Шаг 2: Общее преобразование
Для преобразования равномерной случайной величины с одного интервала на другой используют линейное преобразование:
[
Y = \alpha X + \beta
]
Нужно найти такие (\alpha) и (\beta), чтобы (Y) был равномерным на ([c, d]).
Шаг 3: Условие равномерного распределения
Рассмотрим границы:
- при (X = a), (Y = c)
- при (X = b), (Y = d)
Чтобы переход был линейным, то:
[
Y = \frac{d - c}{b - a}(X - a) + c
]
Объясним подробнее:
- масштабируем диапазон (X) от ([a, b]) в диапазон ([0, 1]):
[
U = \frac{X - a}{b - a}
]
- затем масштабируем (U) в интервал ([c, d]):
[
Y = c + (d - c) U
]
Подставим назад (U):
[
Y = c + (d - c) \frac{X - a}{b - a}
]
Ответ:
Формула для преобразования:
[
\boxed{
Y = c + \frac{d - c}{b - a} (X - a)
}
]
или, более компактно:
[
Y = \frac{d - c}{b - a} (X - a) + c
]
Итог:
Чтобы перейти от равномерного распределения на ([a, b]) к равномерному на ([c, d]), нужно умножить (X - a) на (\frac{d - c}{b - a}) и прибавить (c).
Если нужны более конкретные значения или объяснения — обращайтесь!
