Пусть у вас есть случайная величина , равномерно распределённая на отрезке . Выберите правильную формулу для преобразования случайной величины в случайную величину , равномерно…

Давайте разберёмся с задачей пошагово.

Задача:
Дана случайная величина \( X \), равномерно распределённая на интервале \([a, b]\). Нужно выбрать правильную формулу для преобразования \(X\) в новую случайную величину \( Y \), которая будет равномерно распределена на отрезке \([c, d]\).

Шаг 1: Свойства равномерного распределения

Если \( X \sim U(a, b) \), то ее значение равновероятно может находиться на любом месте между \(a\) и \(b\).

Задача — сделать так, чтобы \( Y \sim U(c, d) \).

Шаг 2: Общее преобразование

Для преобразования равномерной случайной величины с одного интервала на другой используют линейное преобразование:

\[ Y = \alpha X + \beta \]

Нужно найти такие \(\alpha\) и \(\beta\), чтобы \(Y\) был равномерным на \([c, d]\).

Шаг 3: Условие равномерного распределения

Рассмотрим границы:

• при \(X = a\), \(Y = c\)
• при \(X = b\), \(Y = d\)

Чтобы переход был линейным, то:

\[ Y = \frac{d - c}{b - a}(X - a) + c \]

Объясним подробнее:

• масштабируем диапазон \(X\) от \([a, b]\) в диапазон \([0, 1]\):

\[ U = \frac{X - a}{b - a} \]

• затем масштабируем \(U\) в интервал \([c, d]\):

\[ Y = c + (d - c) U \]

Подставим назад \(U\):

\[ Y = c + (d - c) \frac{X - a}{b - a} \]

Ответ:

Формула для преобразования:

\[ \boxed{ Y = c + \frac{d - c}{b - a} (X - a) } \]

или, более компактно:

\[ Y = \frac{d - c}{b - a} (X - a) + c \]

Итог:

Чтобы перейти от равномерного распределения на \([a, b]\) к равномерному на \([c, d]\), нужно умножить \(X - a\) на \(\frac{d - c}{b - a}\) и прибавить \(c\).

Если нужны более конкретные значения или объяснения — обращайтесь!