Объем и площадь Дан прямой цилиндр с радиусом основания 3 см и высотой 4 см. Найдите объём и площадь боковой поверхности вписанного в этот цилиндр прямого конуса (вершина конуса находится в центре одного из оснований цилиндра).

Давайте подробно разберем задачу поэтапно, чтобы понять, как найти объем и площадь боковой поверхности вписанного в цилиндр прямого конуса, вершина которого находится в центре одного из оснований цилиндра. --- ### Шаг 1: Исходные данные - Радиус цилиндра \( R_{цилиндра} = 3\, \text{см} \) - Высота цилиндра \( H_{цилиндра} = 4\, \text{см} \) Поскольку вершина конуса находится в центре одного из оснований цилиндра, и конус вписан, то его основание лежит на другом основании цилиндра, а вершина — в центре одного из оснований. --- ### Шаг 2: Разделение задачи 1. **Положение вершины конуса:** В центре одного из оснований цилиндра. 2. **Основание конуса:** В другом основании цилиндра, то есть на другом конце по высоте. --- ### Шаг 3: Выяснение размеров вписанного конуса - Вершина конуса в центре основания цилиндра с радиусом \( R_{цилиндра} = 3\, \text{см} \). - В основании цилиндра радиус равен 3 см, значит, основание конуса — это круг того же радиуса. - Высота конуса равна высоте цилиндра, так как вершина в центре одного основания, а основание — в другом: \[ H_{конуса} = 4\, \text{см} \] --- ### Шаг 4: Определение геометрии конуса - Вершина находится в центре основания цилиндра (например, в центре нижнего основания). - Основание конуса — это верхнее основание цилиндра и та же плоскость, где находится окружность радиуса 3 см. --- ### Шаг 5: Находим объем конуса Формула объема конуса: \[ V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi R^2 H \] Где: - \( R = 3\, \text{см} \), - \( H = 4\, \text{см} \). Подставляем: \[ V = \frac{1}{3} \pi \times 3^2 \times 4 = \frac{1}{3} \pi \times 9 \times 4 = \frac{1}{3} \pi \times 36 = 12 \pi\, \text{см}^3 \] **Ответ на объем:** \[ \boxed{V \approx 37.7\, \text{см}^3} \] (используя \( \pi \approx 3.14 \)) --- ### Шаг 6: Находим площадь боковой поверхности конуса Формула боковой поверхности конуса: \[ S_{\text{боковая}} = \pi R l \] Где: - \( R = 3\, \text{см} \), - \( l \) — образующая конуса. Образующая — это расстояние от вершины до любой точки окружности основания. В нашем случае, это гипотенуза треугольника, где: - один катет — радиус основания \( R = 3\, \text{см} \), - другой — высота \( H = 4\, \text{см} \). --- ### Шаг 7: Найдем \( l \) (образующую конуса) Используем теорему Пифагора: \[ l = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\, \text{см} \] --- ### Шаг 8: Найти площадь боковой поверхности Подставляем в формулу: \[ S_{\text{боковая}} = \pi \times 3 \times 5 = 15 \pi \approx 47.1\, \text{см}^2 \] **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Площадь боковой поверхности} \approx 47.1\, \text{см}^2 } \] --- ### Итог: - Объем вписанного в цилиндр конуса: около **37.7 см³**, - Площадь боковой поверхности: около **47.1 см²**. Если нужны дополнительные объяснения или есть другие вопросы, — пишите!