Давайте разберём задачу пошагово.
Задача:
- Вероятность успеха в одном испытании — 0,5.
- Нужно найти минимальное число испытаний, чтобы вероятность того, что хотя бы одно испытание будет успешным, была больше 0,9.
Шаг 1. Понимание условий
Обозначим:
- ( n ) — количество испытаний.
- Вероятность успешного исхода в одном испытании: ( p = 0,5 ).
Нас интересует вероятность того, что хотя бы одно из этих ( n ) испытаний завершится успехом.
Шаг 2. Выяснение вероятности противоположного события
Вероятность неудачи в одном испытании — это ( 1 - p = 0,5 ).
Вероятность того, что все ( n ) испытаний закончились неудачей:
[
(1 - p)^n = 0,5^n
]
Следовательно, вероятность хотя бы одного успеха:
[
P(\text{хотя бы один успех}) = 1 - (0,5)^n
]
Шаг 3. Условие задачи
Нам нужно:
[
1 - (0,5)^n > 0,9
]
или
[
(0,5)^n < 0,1
]
Шаг 4. Решение неравенства
Рассмотрим неравенство:
[
0,5^n < 0,1
]
Логарифмируем обе части неравенства (можем использовать любой логарифм, здесь — натуральный или десятичный, важно помнить свойства):
[
\ln(0,5^n) < \ln(0,1)
]
Используем свойство логарифма:
[
n \ln(0,5) < \ln(0,1)
]
Значения:
- (\ln(0,5) < 0), так как 0,5 — это число меньше 1.
- (\ln(0,1) < 0), для числа 0,1 тоже.
Значит, деля обе части на отрицательное число, знак неравенства меняется:
[
n > \frac{\ln(0,1)}{\ln(0,5)}
]
Подставим числовые значения:
- (\ln(0,1) = -2,302585)
- (\ln(0,5) = -0,693147)
Посчитаем:
[
n > \frac{-2,302585}{-0,693147} \approx 3,32
]
Ответ:
Так как количество испытаний — целое число, нужно взять ближайшее большее целое число — 4.
ИТОГ:
Минимальное количество испытаний — 4.
При этом вероятность хотя бы одного успеха будет более 0,9.
Если нужно пояснение к вычислениям или дополнительные детали — скажите!
