В некоторой лаборатории проводят серию одинаковых испытаний. Шанс успеха при одном испытании - 0,5. Какое минимальное количество испытаний необходимо, чтобы вероятность…

Давайте разберём задачу пошагово.

Задача:

• Вероятность успеха в одном испытании — 0,5.
• Нужно найти минимальное число испытаний, чтобы вероятность того, что хотя бы одно испытание будет успешным, была больше 0,9.

Шаг 1. Понимание условий

Обозначим:

• \( n \) — количество испытаний.
• Вероятность успешного исхода в одном испытании: \( p = 0,5 \).

Нас интересует вероятность того, что хотя бы одно из этих \( n \) испытаний завершится успехом.

Шаг 2. Выяснение вероятности противоположного события

Вероятность неудачи в одном испытании — это \( 1 - p = 0,5 \).

Вероятность того, что все \( n \) испытаний закончились неудачей: \[ (1 - p)^n = 0,5^n \]

Следовательно, вероятность хотя бы одного успеха: \[ P(\text{хотя бы один успех}) = 1 - (0,5)^n \]

Шаг 3. Условие задачи

Нам нужно: \[ 1 - (0,5)^n > 0,9 \] или \[ (0,5)^n < 0,1 \]

Шаг 4. Решение неравенства

Рассмотрим неравенство: \[ 0,5^n < 0,1 \]

Логарифмируем обе части неравенства (можем использовать любой логарифм, здесь — натуральный или десятичный, важно помнить свойства):

\[ \ln(0,5^n) < \ln(0,1) \]

Используем свойство логарифма: \[ n \ln(0,5) < \ln(0,1) \]

Значения:

• \(\ln(0,5) < 0\), так как 0,5 — это число меньше 1.
• \(\ln(0,1) < 0\), для числа 0,1 тоже.

Значит, деля обе части на отрицательное число, знак неравенства меняется:

\[ n > \frac{\ln(0,1)}{\ln(0,5)} \]

Подставим числовые значения:

• \(\ln(0,1) = -2,302585\)
• \(\ln(0,5) = -0,693147\)

Посчитаем: \[ n > \frac{-2,302585}{-0,693147} \approx 3,32 \]

Ответ:

Так как количество испытаний — целое число, нужно взять ближайшее большее целое число — 4.

ИТОГ:

Минимальное количество испытаний — 4.
При этом вероятность хотя бы одного успеха будет более 0,9.

Если нужно пояснение к вычислениям или дополнительные детали — скажите!