Ответ: Боковая поверхность цилиндра составляет \(24\pi\) см². Решение: 1. Дано: - Диагональ осевого сечения цилиндра: \(d = 4\sqrt{3}\) см. - Угол между диагональю осевого сечения…
Ответ: Боковая поверхность цилиндра составляет \(24\pi\) см². Решение: 1. Дано: - Диагональ осевого сечения цилиндра: \(d = 4\sqrt{3}\) см. - Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания: \(45^\circ\). 2. Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами: - Высота цилиндра \(h\). - Диаметр основания \(2r\) (где \(r\) — радиус). 3. Из условия угла \(45^\circ\): \[ \tan(45^\circ) = \frac{h}{2r} \implies 1 = \frac{h}{2r} \implies h = 2r. \] 4. По теореме Пифагора для диагонали осевого сечения: \[ \sqrt{(2r)^2 + h^2} = 4\sqrt{3}. \] Подставляем \(h = 2r\): \[ \sqrt{8r^2} = 4\sqrt{3} \implies 2r\sqrt{2} = 4\sqrt{3} \implies r = \sqrt{6} \, \text{см}. \] 5. Находим высоту: \[ h = 2r = 2\sqrt{6} \, \text{см}. \] 6. Площадь боковой поверхности цилиндра: \[ S_{\text{бок}} = 2\pi r h = 2\pi \cdot \sqrt{6} \cdot 2\sqrt{6} = 24\pi \, \text{см}^2. \]
Ответ подтвержден: площадь боковой поверхности цилиндра составляет \(24\pi\) см².
Подробное решение с объяснениями:
Дано:
- Диагональ осевого сечения цилиндра: \(d = 4\sqrt{3}\) см.
- Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания: \(45^\circ\).
Осевое сечение цилиндра — прямоугольник:
- Ось цилиндра — высота \(h\).
- Диаметр основания — \(2r\), где \(r\) — радиус основания.
Используем угол \(45^\circ\):
В прямоугольнике, образованном высотой и диаметром, диагональ связывает эти стороны по теореме Пифагора и образует угол с основанием.Угол между диагональю и плоскостью основания равен \(45^\circ\).
- Та сторона, которая лежит в плоскости основания — это \(2r\).
- Высота — это \(h\).
Тогда, по определению тангенса:
\[ \tan(45^\circ) = 1 = \frac{h}{2r} \implies h = 2r. \]Используем длину диагонали (\(d\)) и теорему Пифагора:
Диагональ (\(d\)) — гипотенуза прямоугольного треугольника со сторонами \(h\) и \(2r\): \[ d = \sqrt{h^2 + (2r)^2}. \]
Подставляем \(h = 2r\): \[ d = \sqrt{(2r)^2 + (2r)^2} = \sqrt{2 \cdot (2r)^2} = \sqrt{2 \cdot 4r^2} = \sqrt{8r^2} = 2r\sqrt{2}. \]
Но \(d = 4\sqrt{3}\), значит: \[ 2r \sqrt{2} = 4 \sqrt{3}. \]
Решаем относительно \(r\): \[ r = \frac{4 \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}. \]
Упростим: \[ r = 2 \sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}. \]
Вынесем под корень: \[ r = 2 \times \sqrt{\frac{3}{2}} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}. \]
Можно оставить так: \[ r = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 2 \times \sqrt{\frac{3}{2}}. \]
Но для дальнейших расчетов удобнее выразить \(r\) через \(r = \sqrt{6}\), так как:
\[ \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}. \]
Проверим напрямую:
\[ r = \frac{4 \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}. \]
Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\):
\[ r = \frac{2 \sqrt{3} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}. \]
Следовательно: \[ r = \sqrt{6} \text{ см}. \]
Находим высоту: \[ h = 2r = 2 \sqrt{6} \text{ см}. \]
Площадь боковой поверхности цилиндра: \[ S_{\text{бок}} = 2 \pi r h. \]
Подставляем найденные значения: \[ S_{\text{бок}} = 2 \pi \times \sqrt{6} \times 2 \sqrt{6} = 2 \pi \times 2 \times (\sqrt{6} \times \sqrt{6}). \]
\[ \sqrt{6} \times \sqrt{6} = 6, \]
итого: \[ S_{\text{бок}} = 4 \pi \times 6 = 24 \pi. \]
Ответ: площадь боковой поверхности цилиндра равна \(\boxed{24\pi}\) см².
