Ответ: Боковая поверхность цилиндра составляет \(24\pi\) см². Решение: 1. Дано: - Диагональ осевого сечения цилиндра: \(d = 4\sqrt{3}\) см. - Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания: \(45^\circ\). 2. Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами: - Высота цилиндра \(h\). - Диаметр основания \(2r\) (где \(r\) — радиус). 3. Из условия угла \(45^\circ\): \[ \tan(45^\circ) = \frac{h}{2r} \implies 1 = \frac{h}{2r} \implies h = 2r. \] 4. По теореме Пифагора для диагонали осевого сечения: \[ \sqrt{(2r)^2 + h^2} = 4\sqrt{3}. \] Подставляем \(h = 2r\): \[ \sqrt{8r^2} = 4\sqrt{3} \implies 2r\sqrt{2} = 4\sqrt{3} \implies r = \sqrt{6} \, \text{см}. \] 5. Находим высоту: \[ h = 2r = 2\sqrt{6} \, \text{см}. \] 6. Площадь боковой поверхности цилиндра: \[ S_{\text{бок}} = 2\pi r h = 2\pi \cdot \sqrt{6} \cdot 2\sqrt{6} = 24\pi \, \text{см}^2. \]

Ответ подтвержден: площадь боковой поверхности цилиндра составляет \(24\pi\) см². Подробное решение с объяснениями: 1. **Дано:** - Диагональ осевого сечения цилиндра: \(d = 4\sqrt{3}\) см. - Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания: \(45^\circ\). 2. **Осевое сечение цилиндра — прямоугольник:** - Ось цилиндра — высота \(h\). - Диаметр основания — \(2r\), где \(r\) — радиус основания. 3. **Используем угол \(45^\circ\):** В прямоугольнике, образованном высотой и диаметром, диагональ связывает эти стороны по теореме Пифагора и образует угол с основанием. Угол между диагональю и плоскостью основания равен \(45^\circ\). - Та сторона, которая лежит в плоскости основания — это \(2r\). - Высота — это \(h\). Тогда, по определению тангенса: \[ \tan(45^\circ) = 1 = \frac{h}{2r} \implies h = 2r. \] 4. **Используем длину диагонали (\(d\)) и теорему Пифагора:** Диагональ (\(d\)) — гипотенуза прямоугольного треугольника со сторонами \(h\) и \(2r\): \[ d = \sqrt{h^2 + (2r)^2}. \] Подставляем \(h = 2r\): \[ d = \sqrt{(2r)^2 + (2r)^2} = \sqrt{2 \cdot (2r)^2} = \sqrt{2 \cdot 4r^2} = \sqrt{8r^2} = 2r\sqrt{2}. \] Но \(d = 4\sqrt{3}\), значит: \[ 2r \sqrt{2} = 4 \sqrt{3}. \] Решаем относительно \(r\): \[ r = \frac{4 \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}. \] Упростим: \[ r = 2 \sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}. \] Вынесем под корень: \[ r = 2 \times \sqrt{\frac{3}{2}} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}. \] Можно оставить так: \[ r = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 2 \times \sqrt{\frac{3}{2}}. \] Но для дальнейших расчетов удобнее выразить \(r\) через \(r = \sqrt{6}\), так как: \[ \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}. \] Проверим напрямую: \[ r = \frac{4 \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}. \] Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\): \[ r = \frac{2 \sqrt{3} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}. \] Следовательно: \[ r = \sqrt{6} \text{ см}. \] 5. **Находим высоту:** \[ h = 2r = 2 \sqrt{6} \text{ см}. \] 6. **Площадь боковой поверхности цилиндра:** \[ S_{\text{бок}} = 2 \pi r h. \] Подставляем найденные значения: \[ S_{\text{бок}} = 2 \pi \times \sqrt{6} \times 2 \sqrt{6} = 2 \pi \times 2 \times (\sqrt{6} \times \sqrt{6}). \] \[ \sqrt{6} \times \sqrt{6} = 6, \] итого: \[ S_{\text{бок}} = 4 \pi \times 6 = 24 \pi. \] **Ответ:** площадь боковой поверхности цилиндра равна \(\boxed{24\pi}\) см².