Давайте последовательно решим задачу, учитывая что цель — понять, объясню всё подробно и понятно.
1. Координаты вектора MN и KM
Дано:
- ( M(-4; -2; 1) )
- ( N(3; -1; -1) )
- ( K(2; 1; -3) )
Что такое вектор?
Вектор определяется как направленное отрезок, его координаты считаются как разность координат конечной точки и начальной.
Вектор MN:
Координаты вектора ( \vec{MN} ) вычисляются так:
[
\vec{MN} = (x_N - x_M, y_N - y_M, z_N - z_M)
]
Подставим значения:
[
x_N - x_M = 3 - (-4) = 3 + 4 = 7
]
[
y_N - y_M = -1 - (-2) = -1 + 2 = 1
]
[
z_N - z_M = -1 - 1 = -2
]
Ответ:
[
\boxed{
\vec{MN} = (7, 1, -2)
}
]
Вектор KM:
Аналогично:
[
\vec{KM} = (x_M - x_K, y_M - y_K, z_M - z_K)
]
Подставим:
[
x_M - x_K = -4 - 2 = -6
]
[
y_M - y_K = -2 - 1 = -3
]
[
z_M - z_K = 1 - (-3) = 1 + 3 = 4
]
Ответ:
[
\boxed{
\vec{KM} = (-6, -3, 4)
}
]
2. Модуль вектора MN
Модуль вектора ( \vec{MN} ) — это длина этого вектора, вычисляемая по формуле:
[
|\vec{MN}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}
]
Подставим:
[
|\vec{MN}| = \sqrt{7^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{49 + 1 + 4} = \sqrt{54}
]
Можно оставить как есть или упростить:
[
\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}
]
Ответ:
[
\boxed{
|\vec{MN}| = 3\sqrt{6}
}
]
3. Координаты вектора ( \mathbf{PF} = 3 \vec{MN} - 2 \vec{KM} )
Здесь нужно найти новый вектор ( \vec{PF} ).
Для этого умножим векторы ( \vec{MN} ) и ( \vec{KM} ) на соответствующие коэффициенты, а затем вычтем или сложим.
Вычислим:
[
3 \vec{MN} = 3 \times (7, 1, -2) = (21, 3, -6)
]
[
2 \vec{KM} = 2 \times (-6, -3, 4) = (-12, -6, 8)
]
Теперь:
[
\vec{PF} = (21, 3, -6) - (-12, -6, 8) = (21 - (-12), 3 - (-6), -6 - 8)
]
Выполняем вычитание:
[
x_{PF} = 21 + 12 = 33
]
[
y_{PF} = 3 + 6 = 9
]
[
z_{PF} = -6 - 8 = -14
]
Ответ:
[
\boxed{
\vec{PF} = (33, 9, -14)
}
]
Итог:
- (\vec{MN} = (7, 1, -2))
- (\vec{KM} = (-6, -3, 4))
- Модуль (|\vec{MN}| = 3\sqrt{6})
- Вектор (\vec{PF} = (33, 9, -14))
Если что-то осталось непонятным — спрашивайте!
