дано точки М(-4;-2;1),N(3;-1;-1), K(2;1;-3).знайти:1)координати векторів MN і KM;2)модуль вектора MN;3)координати вектора PF=3MN-2 KM

Давайте последовательно решим задачу, учитывая что цель — понять, объясню всё подробно и понятно.

1. Координаты вектора MN и KM

Дано:

• \( M(-4; -2; 1) \)
• \( N(3; -1; -1) \)
• \( K(2; 1; -3) \)

Что такое вектор?
Вектор определяется как направленное отрезок, его координаты считаются как разность координат конечной точки и начальной.

Вектор MN:
Координаты вектора \( \vec{MN} \) вычисляются так:
\[ \vec{MN} = (x_N - x_M, y_N - y_M, z_N - z_M) \]

Подставим значения:
\[ x_N - x_M = 3 - (-4) = 3 + 4 = 7 \] \[ y_N - y_M = -1 - (-2) = -1 + 2 = 1 \] \[ z_N - z_M = -1 - 1 = -2 \]

Ответ:
\[ \boxed{ \vec{MN} = (7, 1, -2) } \]

Вектор KM:
Аналогично:
\[ \vec{KM} = (x_M - x_K, y_M - y_K, z_M - z_K) \]

Подставим:
\[ x_M - x_K = -4 - 2 = -6 \] \[ y_M - y_K = -2 - 1 = -3 \] \[ z_M - z_K = 1 - (-3) = 1 + 3 = 4 \]

Ответ:
\[ \boxed{ \vec{KM} = (-6, -3, 4) } \]

2. Модуль вектора MN

Модуль вектора \( \vec{MN} \) — это длина этого вектора, вычисляемая по формуле:
\[ |\vec{MN}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

Подставим:
\[ |\vec{MN}| = \sqrt{7^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{49 + 1 + 4} = \sqrt{54} \]

Можно оставить как есть или упростить:
\[ \sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6} \]

Ответ:
\[ \boxed{ |\vec{MN}| = 3\sqrt{6} } \]

3. Координаты вектора \( \mathbf{PF} = 3 \vec{MN} - 2 \vec{KM} \)

Здесь нужно найти новый вектор \( \vec{PF} \).
Для этого умножим векторы \( \vec{MN} \) и \( \vec{KM} \) на соответствующие коэффициенты, а затем вычтем или сложим.

Вычислим:

\[ 3 \vec{MN} = 3 \times (7, 1, -2) = (21, 3, -6) \]

\[ 2 \vec{KM} = 2 \times (-6, -3, 4) = (-12, -6, 8) \]

Теперь:

\[ \vec{PF} = (21, 3, -6) - (-12, -6, 8) = (21 - (-12), 3 - (-6), -6 - 8) \]

Выполняем вычитание:

\[ x_{PF} = 21 + 12 = 33 \] \[ y_{PF} = 3 + 6 = 9 \] \[ z_{PF} = -6 - 8 = -14 \]

Ответ:

\[ \boxed{ \vec{PF} = (33, 9, -14) } \]

Итог:

1. \(\vec{MN} = (7, 1, -2)\)
2. \(\vec{KM} = (-6, -3, 4)\)
3. Модуль \(|\vec{MN}| = 3\sqrt{6}\)
4. Вектор \(\vec{PF} = (33, 9, -14)\)

Если что-то осталось непонятным — спрашивайте!