Давайте решим задачу пошагово.
Дано:
- Объем шара равен объему цилиндра.
- Радиус шара и основания цилиндра равен ( r = \frac{3}{2} ).
Обозначим:
- ( R ) — радиус основания цилиндра (равен радиусу шара).
- ( h ) — высота цилиндра.
- ( r_s ) — радиус шара = ( R = \frac{3}{2} ).
Шаг 1: Запишем формулы объёмов
Так как объемы равны:
[
\frac{4}{3}\pi r^3 = \pi R^2 h
]
Подставляем ( R = r = \frac{3}{2} ):
[
\frac{4}{3}\pi r^3 = \pi r^2 h
]
Раскроем ( \pi ) и сократим:
[
\frac{4}{3} r^3 = r^2 h
]
Делим обе части на ( r^2 ):
[
\frac{4}{3} r = h
]
Подставляем ( r = \frac{3}{2} ):
[
h = \frac{4}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{4}{3} \times \frac{3}{2} = 2
]
Шаг 2: Найдём площадь боковой поверхности цилиндра
Площадь боковой поверхности цилиндра:
[
S_{бок} = 2 \pi R h
]
Подставляем ( R = \frac{3}{2} ) и ( h = 2 ):
[
S_{бок} = 2 \pi \times \frac{3}{2} \times 2
]
Упростим:
[
S_{бок} = 2 \pi \times \frac{3}{2} \times 2 = (2 \times 2) \pi \times \frac{3}{2}
]
Сначала умножим:
[
2 \times 2 = 4
]
Следовательно:
[
S_{бок} = 4 \pi \times \frac{3}{2} = 4 \pi \times \frac{3}{2}
]
Упростим:
[
4 \times \frac{3}{2} = 2 \times 3 = 6
]
Итак:
[
S_{бок} = 6 \pi
]
Ответ:
[
\boxed{6\pi}
]
В записи в поле ответа — значение ( S \pi ): 6.
