Игральную кость бросили два раза. Какие пары событий являются независимыми? Выбери верные варианты ответа. Событие  A A: «при первом броске выпадет  2 2 очка» и событие  B B: «при втором броске выпадет больше  2 2 очков» Событие  A A: «при первом броске выпадет больше  2 2 очков» и событие  B B: «сумма выпавших очков равна  6 6» Событие  A A: «при первом броске выпадет  1 1 очко» и событие  B B: «хотя бы раз выпадет  3 3 очка» Событие  A A: «при первом броске выпадет чётное количество очков» и событие  B B: «при втором броске выпадет меньше  4 4 очков»

Рассмотрим задачу о независимости событий при броске двух игральных костей два раза. **Что такое независимые события?** Два события считаются независимыми, если выполнение или невыполнение одного из них не влияет на вероятность выполнения другого. В вероятностных расчетах это означает, что: \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \] Теперь перейдем к анализу каждого из предложенных вариантов. --- ### Вариант 1 **A:** «при первом броске выпадет 2 очка» **B:** «при втором броске выпадет больше 2 очков» **Анализ:** - Вероятность A: \( P(A) = \frac{1}{6} \) (так как есть 6 граней, и одна из них — 2) - Вероятность B: для второго броска — выпадет больше 2 очков (то есть 3,4,5 или 6). \[ P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] **Вероятность совместного события \( P(A \cap B) \):** - Первый бросок — 2 очка, второй — больше 2 \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{6} \times \frac{4}{6} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \] **Заключение:** Поскольку вероятность их совместного события равна произведению отдельных вероятностей, события **могут быть независимыми**. --- ### Вариант 2 **A:** «при первом броске больше 2 очков» **B:** «сумма выпавших очков равна 6» **Анализ:** - \( P(A) \): первый бросок > 2 → 3, 4, 5, 6 → \[ P(A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] - \( P(B) \): сумма равна 6 Возможные пары: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) → 5 исходов из 36 возможных \[ P(B) = \frac{5}{36} \] **Вероятность \( P(A \cap B) \):** - Первый бросок > 2 - сумма равна 6 Возможные пары: (3,3) — первый > 2, второй = 3 (4,2) — первый > 2, второй = 2 (5,1) — первый > 2, второй = 1 Всего 3 исхода из 36. **Проверка:** \[ P(A \cap B) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \] **Произведение:** \[ P(A) \times P(B) = \frac{2}{3} \times \frac{5}{36} = \frac{10}{108} = \frac{5}{54} \approx 0.0926 \] А \( P(A \cap B) = \frac{1}{12} \approx 0.0833 \) **Вывод:** \[ \frac{1}{12} \neq \frac{5}{54} \] Значит, события **не являются независимыми**. --- ### Вариант 3 **A:** «при первом броске выпадет 1 очко» **B:** «хотя бы раз выпадет 3 очка» **Анализ:** - \( P(A) = \frac{1}{6} \) - \( P(B) \): вероятность, что хотя бы один из двух бросков даст 3 или более На двух бросках: - Вероятность, что ни разу не выпадет 3 или больше: (1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (1,1), (2,1), (1,2), (2,2)—тесь- их 4 исхода — где ни разу нет 3 или более - Тогда вероятность, что хотя бы раз выпадет 3 или больше: \[ P(B) = 1 - \frac{4}{36} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \] **Вероятность \( P(A \cap B) \):** - первый бросок — 1 - хотя бы один раз выпадет 3 или более На втором броске: вероятность — 1 (скорее всего, любой результат) Все случаи, где первый бросок — 1, а второй — что угодно, кроме невозможного в данном условии — это 6 исходов из 36. В частности, событие \(A\) и событие \(B\) совместное: — Первый бросок — 1, второй — любой. В этом возможен только случай, когда второй — 3 или больше, т.е. 3,4,5,6 — 4 исхода. Значит, \( P(A \cap B) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \). **Произведение:** \[ P(A) \times P(B) = \frac{1}{6} \times \frac{8}{9} = \frac{8}{54} = \frac{4}{27} \approx 0.1481 \] **Проверка:** \[ P(A \cap B) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \approx 0.1111 \] Различие — события **не независимы**. --- ### Вариант 4 **A:** «при первом броске выпадет четное число» **B:** «при втором броске выпадет меньше 4» **Анализ:** - \( P(A) \): четные числа — 2, 4, 6 → \[ P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] - \( P(B) \): меньше 4 → 1, 2, 3 → \[ P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] **Вероятность \( P(A \cap B) \):** - Первый бросок — четное (2, 4, 6) - Второй бросок — меньше 4 (1, 2, 3) - Исходы, где оба события выполняются: — Первый бросок: 2, 4, 6 — Второй бросок: 1, 2, 3 Тогда совокупных исходов: \( 3 \times 3 = 9 \), — среди них: (2,1), (2,2), (2,3) (4,1), (4,2), (4,3) (6,1), (6,2), (6,3) Все эти 9 исходов — допустимы. **Вероятность:** \[ P(A \cap B) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} \] **Произведение:** \[ P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \] Это совпадает с \( P(A \cap B) \)! **Значит, события в этом случае — независимы.** --- ### Итог: **Независимыми являются события из варианта 1 и варианта 4.** --- ### **Ответ:** **Правильные варианты:** - **Первый** - **Четвертый**