Игральную кость бросили два раза. Какие пары событий являются независимыми? Выбери верные варианты ответа. Событие A A : «при первом броске выпадет 2 2 очка» и событие B B : «при…

Рассмотрим задачу о независимости событий при броске двух игральных костей два раза.

Что такое независимые события?
Два события считаются независимыми, если выполнение или невыполнение одного из них не влияет на вероятность выполнения другого. В вероятностных расчетах это означает, что:

\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]

Теперь перейдем к анализу каждого из предложенных вариантов.

---

Вариант 1

A: «при первом броске выпадет 2 очка»
B: «при втором броске выпадет больше 2 очков»

Анализ:

• Вероятность A: \( P(A) = \frac{1}{6} \) (так как есть 6 граней, и одна из них — 2)
• Вероятность B: для второго броска — выпадет больше 2 очков (то есть 3,4,5 или 6).
  \[ P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]

Вероятность совместного события \( P(A \cap B) \):

• Первый бросок — 2 очка, второй — больше 2
  \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{6} \times \frac{4}{6} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \]

Заключение:
Поскольку вероятность их совместного события равна произведению отдельных вероятностей, события могут быть независимыми.

---

Вариант 2

A: «при первом броске больше 2 очков»
B: «сумма выпавших очков равна 6»

Анализ:

• \( P(A) \): первый бросок > 2 → 3, 4, 5, 6 →
  \[ P(A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]
• \( P(B) \): сумма равна 6
  Возможные пары: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) → 5 исходов из 36 возможных
  \[ P(B) = \frac{5}{36} \]

Вероятность \( P(A \cap B) \):

• Первый бросок > 2
• сумма равна 6
  Возможные пары:
  (3,3) — первый > 2, второй = 3
  (4,2) — первый > 2, второй = 2
  (5,1) — первый > 2, второй = 1

Всего 3 исхода из 36.

Проверка:
\[ P(A \cap B) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \]

Произведение:
\[ P(A) \times P(B) = \frac{2}{3} \times \frac{5}{36} = \frac{10}{108} = \frac{5}{54} \approx 0.0926 \]

А \( P(A \cap B) = \frac{1}{12} \approx 0.0833 \)

Вывод:
\[ \frac{1}{12} \neq \frac{5}{54} \] Значит, события не являются независимыми.

---

Вариант 3

A: «при первом броске выпадет 1 очко»
B: «хотя бы раз выпадет 3 очка»

Анализ:

• \( P(A) = \frac{1}{6} \)
• \( P(B) \): вероятность, что хотя бы один из двух бросков даст 3 или более
  На двух бросках:
  • Вероятность, что ни разу не выпадет 3 или больше:
    (1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (1,1), (2,1), (1,2), (2,2)—тесь- их 4 исхода — где ни разу нет 3 или более
  • Тогда вероятность, что хотя бы раз выпадет 3 или больше:
    \[ P(B) = 1 - \frac{4}{36} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \]

Вероятность \( P(A \cap B) \):

• первый бросок — 1
• хотя бы один раз выпадет 3 или более
  На втором броске: вероятность — 1 (скорее всего, любой результат)
  Все случаи, где первый бросок — 1, а второй — что угодно, кроме невозможного в данном условии — это 6 исходов из 36.
  В частности, событие \(A\) и событие \(B\) совместное:
  — Первый бросок — 1, второй — любой. В этом возможен только случай, когда второй — 3 или больше, т.е. 3,4,5,6 — 4 исхода.
  Значит, \( P(A \cap B) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \).

Произведение:
\[ P(A) \times P(B) = \frac{1}{6} \times \frac{8}{9} = \frac{8}{54} = \frac{4}{27} \approx 0.1481 \]

Проверка:
\[ P(A \cap B) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \approx 0.1111 \]

Различие — события не независимы.

---

Вариант 4

A: «при первом броске выпадет четное число»
B: «при втором броске выпадет меньше 4»

Анализ:

• \( P(A) \): четные числа — 2, 4, 6 →
  \[ P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]
• \( P(B) \): меньше 4 → 1, 2, 3 →
  \[ P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]

Вероятность \( P(A \cap B) \):

• Первый бросок — четное (2, 4, 6)

• Второй бросок — меньше 4 (1, 2, 3)

• Исходы, где оба события выполняются:
  — Первый бросок: 2, 4, 6
  — Второй бросок: 1, 2, 3
  Тогда совокупных исходов: \( 3 \times 3 = 9 \),
  — среди них:
  (2,1), (2,2), (2,3)
  (4,1), (4,2), (4,3)
  (6,1), (6,2), (6,3)

  Все эти 9 исходов — допустимы.

Вероятность:
\[ P(A \cap B) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} \]

Произведение:
\[ P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]

Это совпадает с \( P(A \cap B) \)!
Значит, события в этом случае — независимы.

---

Итог:

Независимыми являются события из варианта 1 и варианта 4.

---

Ответ:

Правильные варианты:

• Первый
• Четвертый