На координатной плоскости изображены векторы u = (1;4), m = (2;1), s = (7;y). Известно, что скалярное произведение векторов u • (m + 3) = 0. Найдите у.

Давайте внимательно разберёмся с задачей и пошагово решим её.

Дано:

• Векторы:
  \(\mathbf{u} = (1; 4)\)
  \(\mathbf{m} = (2; 1)\)
  \(\mathbf{s} = (7; y)\)

• Условие:
  \(\mathbf{u} \cdot (\mathbf{m} + 3) = 0\)

Здесь важно понять, что означает выражение \(\mathbf{m} + 3\). Обычно, если речь идет о сложении вектора и числа, то число 3 добавляют к каждой компоненте вектора. То есть:
\[ \mathbf{m} + 3 = (2 + 3, 1 + 3) = (5, 4) \]

Теперь вычислим скалярное произведение \(\mathbf{u} \cdot (\mathbf{m} + 3)\).

Шаг 1: Вычислим \(\mathbf{m} + 3\)

\[ \mathbf{m} + 3 = (2 + 3, 1 + 3) = (5, 4) \]

Шаг 2: Вычислим скалярное произведение \(\mathbf{u} \cdot (\mathbf{m} + 3)\)

\[ \mathbf{u} \cdot (5, 4) = (1) \times 5 + (4) \times 4 \] \[ = 5 + 16 = 21 \]

Это значение равно 21, и оно должно быть равно 0 по условию задачи, так как \(\mathbf{u} \cdot (\mathbf{m} + 3) = 0\).

Но тут возникает противоречие:
\[ 21 \neq 0 \]

Это значит, что в условии, скорее всего, допущена ошибка или недопонимание.

Давайте проверим формулировку:

"Известно, что скалярное произведение \(\mathbf{u} \cdot (\mathbf{m} + 3) = 0\). Найдите у."

Может быть, правильное условие —
\[ \mathbf{u} \cdot (\mathbf{m} + \mathbf{s}) = 0 \] или же, что \(\mathbf{s}\) — это вектор (7; y), а условие касается \(\mathbf{u} \cdot (\mathbf{m} + \mathbf{s}) = 0\).

Предположим, что условие такое:

\[ \mathbf{u} \cdot (\mathbf{m} + \mathbf{s}) = 0 \]

Тогда
\[ \mathbf{m} + \mathbf{s} = (2 + 7, 1 + y) = (9, 1 + y) \]

Теперь вычислим скалярное произведение: \[ \mathbf{u} \cdot (\mathbf{m} + \mathbf{s}) = 1 \times 9 + 4 \times (1 + y) = 0 \]

Раскроем скобки: \[ 9 + 4(1 + y) = 0 \] \[ 9 + 4 + 4y = 0 \] \[ 13 + 4y = 0 \]

Решим уравнение относительно \( y \): \[ 4y = -13 \] \[ y = -\frac{13}{4} \]

Итог:

Если условие было именно так — \(\mathbf{u} \cdot (\mathbf{m} + \mathbf{s}) = 0\), то
ответ: \(\boxed{ y = -\frac{13}{4} }\).

Если в условии есть ошибки или необходимость уточнить, пожалуйста, предоставьте уточнение.