Записанные на доске, а вместо них записываются число на 2 больше их суммы.какое число останется на доске после 20 таких шагов

Давайте разберём задачу пошагово и подробно объясним каждое действие. **Задача:** На доске есть какое-то число. В течение одного шага происходит следующее: — Вместо исходного числа записывается число, которое равно сумме первоначального числа и следующего за ним числа, увеличенной на 2. Поскольку у нас нет начального числа, предположим, что оно равно \(x_0\). **Разбор задачи:** 1. В начале на доске стоит число \(x_0\). 2. После первого шага на доске появится число, которое равно \(x_0 + (x_0 + 2)\). Почему? — В условии говорится: "записываются число на 2 больше их суммы". — Не совсем ясно, что "их" — исходное число и что-то ещё. Может, это интерпретировать так: - Вдохновимся формулировкой: "Записанные на доске, а вместо них записывается число на 2 больше их суммы". - Вероятно, под "их" имеется в виду исходное число и, возможно, ещё какое-то число — предположим, что это исходное число и его "следующее число". Но без дополнительных данных лучше считать, что в каждом шаге на доске появляется число, равное текущему числу плюс сумма двух чисел: исходного и следующего. Поскольку в условии ничего не сказано о "следующем числе", предположим, что задачу можно интерпретировать так: **Если исходное число — \(x\), то после одного шага оно превращается в \(x + (x + 2)\).** Это соответствует следующему: - В каждом шаге число становится \(x_{n+1} = x_n + (x_n + 2) = 2x_n + 2\). Теперь рассчитаем: \[ x_{n+1} = 2x_n + 2. \] Это линейное рекуррентное соотношение. --- ### Решение рекуррентного уравнения Исходное число: \(x_0\). После первого шага: \[ x_1 = 2x_0 + 2, \] после второго: \[ x_2 = 2x_1 + 2 = 2(2x_0 + 2) + 2 = 4x_0 + 4 + 2 = 4x_0 + 6, \] после третьего: \[ x_3 = 2x_2 + 2 = 2(4x_0 + 6) + 2 = 8x_0 + 12 + 2 = 8x_0 + 14, \] после четвертого: \[ x_4 = 2x_3 + 2 = 2(8x_0 + 14) + 2 = 16x_0 + 28 + 2 = 16x_0 + 30. \] Обратим внимание: \[ x_1 = 2x_0 + 2,\quad x_2 = 4x_0 + 6,\quad x_3 = 8x_0 + 14,\quad x_4 = 16x_0 + 30. \] Общий вид можно записать так: \[ x_n = 2^n x_0 + \text{нечто}. \] Рассмотрим разницу между дальше, чтобы найти закономерность. Рассчитаем разницу: - Между \(x_1\) и \(x_0\): \(x_1 - 2x_0 = 2\). - Между \(x_2\) и \(4x_0\): \(x_2 - 4x_0 = 6\). - Между \(x_3\) и \(8x_0\): \(x_3 - 8x_0 = 14\). - Между \(x_4\) и \(16x_0\): \(x_4 - 16x_0 = 30\). Обратим внимание: \(6, 14, 30\) — это последовательность, которая возрастает. Попробуем найти закономерность. Разница увеличивается, ищем разность между ними: - \(14 - 6 = 8\), - \(30 - 14 = 16\). Это геометрическая прогрессия с удвоением. Следующий член: \(30 + 32 = 62\). Значит, общее выражение для \(x_n\) имеет вид: \[ x_n = 2^n x_0 + (часть, обусловленная суммой прогрессии). \] Рассмотрим более формально: Обозначим \(x_n = 2^n x_0 + A_n\). Подставим в рекурсию: \[ x_{n+1} = 2x_n + 2, \] \[ 2^{n+1} x_0 + A_{n+1} = 2(2^n x_0 + A_n) + 2, \] \[ 2^{n+1} x_0 + A_{n+1} = 2^{n+1} x_0 + 2A_n + 2, \] Отсюда: \[ A_{n+1} = 2A_n + 2. \] Это итерационная формула для \(A_n\): \[ A_{n+1} - 2A_n = 2, \] Это линейное рекуррентное уравнение, решение: \[ A_n = C \cdot 2^n - 1, \] где \(C\) — константа. Чтобы найти \(C\), подставим начальные условия. Для \(n=0\): \[ x_0 = 2^0 x_0 + A_0 \implies A_0 = x_0 - x_0 = 0, \] так что: \[ A_0 = 0 = C \cdot 2^0 - 1 \implies 0 = C - 1 \implies C = 1. \] Следовательно: \[ A_n = 2^n - 1. \] Итоговая формула для \(x_n\): \[ x_n = 2^n x_0 + A_n = 2^n x_0 + (2^n - 1) = 2^n (x_0 + 1) - 1. \] --- ### Итоговая формула: \[ \boxed{ x_n = 2^n (x_0 + 1) - 1. } \] --- ### Решение для 20 шагов: Задача: найти значение на доске после 20 шагов, при условии, что начальное число — \(x_0\). Обычно, в подобных задачах предполагается, что исходное число равно 0 (если не указано иное). Пусть \(x_0 = 0\). Тогда: \[ x_{20} = 2^{20} (0+1) - 1 = 2^{20} - 1. \] Значение: \[ 2^{20} = 1 048 576, \] следовательно, \[ x_{20} = 1 048 576 - 1 = 1 048 575. \] **Ответ:** **На доске останется число \(1\,048\,575\).**