Записанные на доске, а вместо них записываются число на 2 больше их суммы.какое число останется на доске после 20 таких шагов
Давайте разберём задачу пошагово и подробно объясним каждое действие.
Задача:
На доске есть какое-то число. В течение одного шага происходит следующее:
— Вместо исходного числа записывается число, которое равно сумме первоначального числа и следующего за ним числа, увеличенной на 2.
Поскольку у нас нет начального числа, предположим, что оно равно \(x_0\).
Разбор задачи:
- В начале на доске стоит число \(x_0\).
- После первого шага на доске появится число, которое равно \(x_0 + (x_0 + 2)\).
Почему?
— В условии говорится: "записываются число на 2 больше их суммы".
— Не совсем ясно, что "их" — исходное число и что-то ещё.
Может, это интерпретировать так:
- Вдохновимся формулировкой: "Записанные на доске, а вместо них записывается число на 2 больше их суммы".
- Вероятно, под "их" имеется в виду исходное число и, возможно, ещё какое-то число — предположим, что это исходное число и его "следующее число".
Но без дополнительных данных лучше считать, что в каждом шаге на доске появляется число, равное текущему числу плюс сумма двух чисел: исходного и следующего.
Поскольку в условии ничего не сказано о "следующем числе", предположим, что задачу можно интерпретировать так:
Если исходное число — \(x\), то после одного шага оно превращается в \(x + (x + 2)\).
Это соответствует следующему:
- В каждом шаге число становится \(x_{n+1} = x_n + (x_n + 2) = 2x_n + 2\).
Теперь рассчитаем:
\[ x_{n+1} = 2x_n + 2. \]
Это линейное рекуррентное соотношение.
Решение рекуррентного уравнения
Исходное число: \(x_0\).
После первого шага:
\[
x_1 = 2x_0 + 2,
\]
после второго:
\[
x_2 = 2x_1 + 2 = 2(2x_0 + 2) + 2 = 4x_0 + 4 + 2 = 4x_0 + 6,
\]
после третьего:
\[
x_3 = 2x_2 + 2 = 2(4x_0 + 6) + 2 = 8x_0 + 12 + 2 = 8x_0 + 14,
\]
после четвертого:
\[
x_4 = 2x_3 + 2 = 2(8x_0 + 14) + 2 = 16x_0 + 28 + 2 = 16x_0 + 30.
\]
Обратим внимание:
\[
x_1 = 2x_0 + 2,\quad
x_2 = 4x_0 + 6,\quad
x_3 = 8x_0 + 14,\quad
x_4 = 16x_0 + 30.
\]
Общий вид можно записать так:
\[
x_n = 2^n x_0 + \text{нечто}.
\]
Рассмотрим разницу между дальше, чтобы найти закономерность.
Рассчитаем разницу:
- Между \(x_1\) и \(x_0\): \(x_1 - 2x_0 = 2\).
- Между \(x_2\) и \(4x_0\): \(x_2 - 4x_0 = 6\).
- Между \(x_3\) и \(8x_0\): \(x_3 - 8x_0 = 14\).
- Между \(x_4\) и \(16x_0\): \(x_4 - 16x_0 = 30\).
Обратим внимание:
\(6, 14, 30\) — это последовательность, которая возрастает.
Попробуем найти закономерность. Разница увеличивается, ищем разность между ними:
- \(14 - 6 = 8\),
- \(30 - 14 = 16\).
Это геометрическая прогрессия с удвоением.
Следующий член: \(30 + 32 = 62\).
Значит, общее выражение для \(x_n\) имеет вид:
\[ x_n = 2^n x_0 + (часть, обусловленная суммой прогрессии). \]
Рассмотрим более формально:
Обозначим \(x_n = 2^n x_0 + A_n\).
Подставим в рекурсию:
\[ x_{n+1} = 2x_n + 2, \] \[ 2^{n+1} x_0 + A_{n+1} = 2(2^n x_0 + A_n) + 2, \] \[ 2^{n+1} x_0 + A_{n+1} = 2^{n+1} x_0 + 2A_n + 2, \]
Отсюда:
\[ A_{n+1} = 2A_n + 2. \]
Это итерационная формула для \(A_n\):
\[ A_{n+1} - 2A_n = 2, \]
Это линейное рекуррентное уравнение, решение:
\[ A_n = C \cdot 2^n - 1, \] где \(C\) — константа.
Чтобы найти \(C\), подставим начальные условия.
Для \(n=0\):
\[ x_0 = 2^0 x_0 + A_0 \implies A_0 = x_0 - x_0 = 0, \]
так что:
\[ A_0 = 0 = C \cdot 2^0 - 1 \implies 0 = C - 1 \implies C = 1. \]
Следовательно:
\[ A_n = 2^n - 1. \]
Итоговая формула для \(x_n\):
\[ x_n = 2^n x_0 + A_n = 2^n x_0 + (2^n - 1) = 2^n (x_0 + 1) - 1. \]
Итоговая формула:
\[ \boxed{ x_n = 2^n (x_0 + 1) - 1. } \]
Решение для 20 шагов:
Задача: найти значение на доске после 20 шагов, при условии, что начальное число — \(x_0\). Обычно, в подобных задачах предполагается, что исходное число равно 0 (если не указано иное).
Пусть \(x_0 = 0\). Тогда:
\[ x_{20} = 2^{20} (0+1) - 1 = 2^{20} - 1. \]
Значение:
\[ 2^{20} = 1 048 576, \] следовательно,
\[ x_{20} = 1 048 576 - 1 = 1 048 575. \]
Ответ: На доске останется число \(1\,048\,575\).
