Турист заболел на отдыхе болезнью, которая длится 21 день. в первый день заболевший турист заразил пятерых человек и начиная со следующего дня ежедневно турист и заболевшие люди…

Давайте разобьём задачу на шаги и решим её подробно.

Условие задачи:

• Болезнь длится 21 день.
• В первый день заболевший турист заразил 5 человек.
• Начиная со второго дня, каждый заболевший человек и турист ежедневно заражают по 5 новых человек.
• Нужно определить, через сколько дней общее количество заболевших станет 1296 человек.

---

Шаг 1. Построение модели роста заболевших

Обозначим:

• \( D \) — номер дня, начиная с 1.
• \( N(D) \) — число заболевших на день \( D \), включая всех заболевших с первого по сегодняшний день.

Шаг 2. Анализ роста в первый день

• В первый день (D=1):
  Заражён один человек (турист).
  Он заразил 5 человек, т.е., новых заболевших — 5.
  После первого дня заражённых всего:
  \[ N(1) = 1 \quad\text{(сам турист)} \] В конце первого дня новых заболевших:
  \[ I(1) = 5 \]

---

Шаг 3. Повторяющийся процесс

• После первого дня:
  В каждый следующий день каждый заболевший заражает ещё 5 человек.
• Это приводит к тому, что количество новых заболевших в день зависит от уже заболевших предыдущих дней.

Нужно понять, как считает сумма всех заболевших.

---

Шаг 4. Распределение заболевших по дням

• Пусть \( A(k) \) — число заболевших в день \( k \). Тогда:
  • В первый день: \( A(1) = 1 \) — турист.
  • Во второй день: он заразил 5 человек, новых заболевших: \( A(2) = 5 \).
  • В третий день: все заболевшие за предыдущие дни продолжают заражать \( 5 \) человек каждый.

Общее число заболевших к дню \( D \): \[ N(D) = \sum_{k=1}^{D} A(k) \]

---

Шаг 5. Формулы для вычисления

В каждый день \( D \), новые заболевшие —

• Первый день: \( A(1) = 1 \).

• Второй день:
  Новый заражён — 5 человек, заразивших в первый день, \( A(2) = 5 \).

• Для последующих дней (\( D \ge 3 \)):
  Каждый заболевший из предыдущих дней заражает по 5 новых людей.
  Значит,
  \[ A(D) = 5 \times \text{(сумма заболевших за предыдущий день)} = 5 \times N(D-1) \]

То есть, количество новых заболевших в день \( D \) — это 5 раз сумма всех заболевших до предыдущего дня.

Но у нас возникает рекурсия: \[ A(D) = 5 \times N(D-1) \]

И так как \( N(D) = N(D-1) + A(D) \), получаем систему.

---

Шаг 6. Расчёт по рекурсии

Приведем формулы:

\[ A(1) = 1 \] \[ N(1) = 1 \]

Дальше для \( D \ge 2 \):

\[ A(D) = 5 \times N(D-1) \] \[ N(D) = N(D-1) + A(D) = N(D-1) + 5 \times N(D-1) = N(D-1) (1 + 5) = 6 \times N(D-1) \]

Это существенный вывод:
Общее число заболевших в день \( D \) равно 6 раз больше общего числа заболевших на предыдущий день:

\[ N(D) = 6 \times N(D-1) \]

При этом начиная с \( N(1) = 1 \), получаем геометрическую прогрессию:

\[ N(D) = N(1) \times 6^{D-1} = 6^{D-1} \]

---

Шаг 7. Итоговая формула

Общий номер заболевших на день \( D \):

\[ \boxed{ N(D) = 6^{D-1} } \]

Шаг 8. Решение уравнения для \( N(D) = 1296 \)

Нам нужно найти \( D \), при котором:

\[ 6^{D - 1} = 1296 \]

Известно, что:

\[ 1296 = 6^4 \]

следовательно,

\[ 6^{D-1} = 6^{4} \]

Значит,

\[ D - 1 = 4 \] \[ D = 5 \]

---

Ответ:

Заболевших станет 1296 человек на 5-й день.