Турист заболел на отдыхе болезнью, которая длится 21 день. в первый день заболевший турист заразил пятерых человек и начиная со следующего дня ежедневно турист и заболевшие люди стали заражать ещё пятерых новых людей. в какой день заболения заболевших станет всего 1296 ?

Давайте разобьём задачу на шаги и решим её подробно. **Условие задачи:** - Болезнь длится 21 день. - В первый день заболевший турист заразил 5 человек. - Начиная со второго дня, каждый заболевший человек и турист ежедневно заражают по 5 новых человек. - Нужно определить, через сколько дней общее количество заболевших станет 1296 человек. --- ### Шаг 1. Построение модели роста заболевших Обозначим: - \( D \) — номер дня, начиная с 1. - \( N(D) \) — число заболевших на день \( D \), включая всех заболевших с первого по сегодняшний день. ### Шаг 2. Анализ роста в первый день - В первый день (D=1): Заражён один человек (турист). Он заразил 5 человек, т.е., новых заболевших — 5. После первого дня заражённых всего: \[ N(1) = 1 \quad\text{(сам турист)} \] В конце первого дня новых заболевших: \[ I(1) = 5 \] --- ### Шаг 3. Повторяющийся процесс - **После первого дня:** В каждый следующий день каждый заболевший заражает ещё 5 человек. - Это приводит к тому, что количество новых заболевших в день зависит от уже заболевших предыдущих дней. Нужно понять, как считает сумма всех заболевших. --- ### Шаг 4. Распределение заболевших по дням - Пусть \( A(k) \) — число заболевших в день \( k \). Тогда: - В первый день: \( A(1) = 1 \) — турист. - Во второй день: он заразил 5 человек, новых заболевших: \( A(2) = 5 \). - В третий день: все заболевшие за предыдущие дни продолжают заражать \( 5 \) человек каждый. Общее число заболевших к дню \( D \): \[ N(D) = \sum_{k=1}^{D} A(k) \] --- ### Шаг 5. Формулы для вычисления В каждый день \( D \), новые заболевшие — - **Первый день:** \( A(1) = 1 \). - **Второй день:** Новый заражён — 5 человек, заразивших в первый день, \( A(2) = 5 \). - **Для последующих дней (\( D \ge 3 \)):** Каждый заболевший из предыдущих дней заражает по 5 новых людей. Значит, \[ A(D) = 5 \times \text{(сумма заболевших за предыдущий день)} = 5 \times N(D-1) \] То есть, количество новых заболевших в день \( D \) — это 5 раз сумма всех заболевших до предыдущего дня. Но у нас возникает рекурсия: \[ A(D) = 5 \times N(D-1) \] И так как \( N(D) = N(D-1) + A(D) \), получаем систему. --- ### Шаг 6. Расчёт по рекурсии Приведем формулы: \[ A(1) = 1 \] \[ N(1) = 1 \] Дальше для \( D \ge 2 \): \[ A(D) = 5 \times N(D-1) \] \[ N(D) = N(D-1) + A(D) = N(D-1) + 5 \times N(D-1) = N(D-1) (1 + 5) = 6 \times N(D-1) \] Это существенный вывод: Общее число заболевших в день \( D \) равно 6 раз больше общего числа заболевших на предыдущий день: \[ N(D) = 6 \times N(D-1) \] При этом начиная с \( N(1) = 1 \), получаем геометрическую прогрессию: \[ N(D) = N(1) \times 6^{D-1} = 6^{D-1} \] --- ### Шаг 7. Итоговая формула Общий номер заболевших на день \( D \): \[ \boxed{ N(D) = 6^{D-1} } \] ### Шаг 8. Решение уравнения для \( N(D) = 1296 \) Нам нужно найти \( D \), при котором: \[ 6^{D - 1} = 1296 \] Известно, что: \[ 1296 = 6^4 \] следовательно, \[ 6^{D-1} = 6^{4} \] Значит, \[ D - 1 = 4 \] \[ D = 5 \] --- ### **Ответ:** **Заболевших станет 1296 человек на 5-й день.**