Найди площадь грани SCD, если ребро SB пирамиды SABCD перпендикулярно плоскости её основания. SB = 12, AB = BC = 5. В основании пирамиды SABCD лежит квадрат

Давайте подробно разберем задачу и найдём площадь грани SCD шаг за шагом. **Дано:** - Пирамида SABCD, где основание — квадрат. - Вершина S и основание ABCD. - Ребро SB перпендикулярно плоскости основания. - SB = 12. - AB = BC = 5. - В основании — квадрат, значит: AB = BC = CD = DA. --- ### Шаг 1: Построение и расположение элементов - По условию, основание — квадрат, следовательно: \[ AB = BC = CD = DA = 5. \] - Ребро SB — перпендикулярно основанию, значит, S находится прямо над точкой B (или её проекцией), и SB перпендикулярно плоскости квадрата. --- ### Шаг 2: Определение координат Для удобства введем систему координат: - Пусть плоскость основания — XY. - Расположим квадрат ABCD в плоскости XY: \[ A(0, 0, 0), \] \[ B(5, 0, 0), \] \[ C(5, 5, 0), \] \[ D(0, 5, 0). \] Точка B имеет координату \( (5, 0, 0) \). --- ### Шаг 3: Координаты вершины S Так как SB — перпендикулярно плоскости основания и равно 12, то: - S расположена в высоте над точкой B на высоте 12. - Координаты S: \( (5, 0, 12) \). --- ### Шаг 4: Определение грани SCD Грань SCD — это треугольник со вершинами: - \( S(5, 0, 12) \), - \( C(5, 5, 0) \), - \( D(0, 5, 0) \). --- ### Шаг 5: Вычисление площади треугольника SCD Формула площади треугольника через векторное произведение: \[ S_{SCD} = \frac{1}{2} |\vec{SC} \times \vec{SD}|. \] - Вычислим векторы: \[ \vec{SC} = C - S = (5 - 5, 5 - 0, 0 - 12) = (0, 5, -12), \] \[ \vec{SD} = D - S = (0 - 5, 5 - 0, 0 - 12) = (-5, 5, -12). \] --- ### Шаг 6: Вычисление векторного произведения \[ \vec{SC} \times \vec{SD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 5 & -12 \\ -5 & 5 & -12 \end{vmatrix} \] Рассчитаем по определителю: \[ \mathbf{i} \left( 5 \times (-12) - (-12) \times 5 \right) - \mathbf{j} \left( 0 \times (-12) - (-12) \times (-5) \right) + \mathbf{k} \left( 0 \times 5 - 5 \times (-5) \right). \] Посчитаем компоненты: - Для \( \mathbf{i} \): \( 5 \times (-12) - (-12) \times 5 = -60 - (-60) = 0 \). - Для \( \mathbf{j} \): \( 0 \times (-12) - (-12) \times (-5) = 0 - 60 = -60 \), с учетом знака минус перед \( \mathbf{j} \): \( -(-60) = +60 \). - Для \( \mathbf{k} \): \( 0 \times 5 - 5 \times (-5) = 0 + 25 = 25 \). Итак, векторное произведение: \[ \vec{SC} \times \vec{SD} = (0, 60, 25). \] --- ### Шаг 7: Модуль векторного произведения \[ |\vec{SC} \times \vec{SD}| = \sqrt{0^2 + 60^2 + 25^2} = \sqrt{0 + 3600 + 625} = \sqrt{4225} = 65. \] --- ### Шаг 8: Площадь грани SCD \[ S_{SCD} = \frac{1}{2} \times 65 = 32.5. \] --- ## Итог: **Площадь грани SCD равна 32.5.** Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробно объяснить что-либо — скажите!