Давайте подробно решим задачу по шагам.
Условие задачи:
Нам даны два вектора:
[
\vec{n} = (1, 1, -5)
]
[
\vec{m} = (-2, 25, -2)
]
Нужно найти скалярное произведение двух выражений:
[
2 \cdot \vec{n} \quad \text{и} \quad 4 \cdot \vec{m}
]
Шаг 1: Умножение вектора на скаляр
Умножение вектора на число — это умножение каждого компонента вектора на это число.
Для (\vec{n}):
[
2 \cdot \vec{n} = (2 \times 1, 2 \times 1, 2 \times (-5)) = (2, 2, -10)
]
Для (\vec{m}):
[
4 \cdot \vec{m} = (4 \times -2, 4 \times 25, 4 \times -2) = (-8, 100, -8)
]
Шаг 2: Найти скалярное произведение двух новых векторов
Общее правило для скалярного произведения двух векторов (\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)) и (\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)):
[
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \times b_1 + a_2 \times b_2 + a_3 \times b_3
]
Подставляем наши векторы:
[
(2, 2, -10) \quad \text{и} \quad (-8, 100, -8)
]
Вычисляем:
[
2 \times (-8) + 2 \times 100 + (-10) \times (-8)
]
Посчитаем поэтапно:
- (2 \times (-8) = -16)
- (2 \times 100 = 200)
- (-10 \times (-8) = 80)
Теперь складываем:
[
-16 + 200 + 80 = 264
]
Ответ:
[
\boxed{264}
]
Скалярное произведение (2 \cdot \vec{n}) и (4 \cdot \vec{m}) равно 264.
