Даны векторы n → n ( 1 , 1 ; − 5 ) (1,1;−5) и m → m ( − 2 , 25 ; − 2 ) (−2,25;−2) . Найди скалярное произведение векторов 2 2 ⋅ ⋅ n → n и 4 4 ⋅ ⋅ m → m .

Давайте подробно решим задачу по шагам.

Условие задачи:

Нам даны два вектора: \[ \vec{n} = (1, 1, -5) \] \[ \vec{m} = (-2, 25, -2) \]

Нужно найти скалярное произведение двух выражений: \[ 2 \cdot \vec{n} \quad \text{и} \quad 4 \cdot \vec{m} \]

Шаг 1: Умножение вектора на скаляр

Умножение вектора на число — это умножение каждого компонента вектора на это число.

• Для \(\vec{n}\): \[ 2 \cdot \vec{n} = (2 \times 1, 2 \times 1, 2 \times (-5)) = (2, 2, -10) \]

• Для \(\vec{m}\): \[ 4 \cdot \vec{m} = (4 \times -2, 4 \times 25, 4 \times -2) = (-8, 100, -8) \]

Шаг 2: Найти скалярное произведение двух новых векторов

Общее правило для скалярного произведения двух векторов \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\) и \(\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)\):

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \times b_1 + a_2 \times b_2 + a_3 \times b_3 \]

Подставляем наши векторы:

\[ (2, 2, -10) \quad \text{и} \quad (-8, 100, -8) \]

Вычисляем:

\[ 2 \times (-8) + 2 \times 100 + (-10) \times (-8) \]

Посчитаем поэтапно:

1. \(2 \times (-8) = -16\)
2. \(2 \times 100 = 200\)
3. \(-10 \times (-8) = 80\)

Теперь складываем:

\[ -16 + 200 + 80 = 264 \]

Ответ:

\[ \boxed{264} \]

Скалярное произведение \(2 \cdot \vec{n}\) и \(4 \cdot \vec{m}\) равно 264.