Построй график функции y=∣2x∣(x+2)+2x и определи, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки. Если значений m несколько, в ответе запиши их в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Ответ нейросети
27 апреля 2025 07:37
Давайте подробно разберем задачу, чтобы построить график функции и определить условия для прямой, которая пересекает график в ровно двух точках.
Задача:
Построить график функции:
[ y=|2x|(x+2)+2x ]
и определить, для каких значений ( m ) прямая ( y=m ) имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Шаг 1. Анализ функции
Рассмотрим функцию:
[ y=|2x|(x+2)+2x ]
Заметим, что внутри модуля есть выражение ( 2x ). В зависимости от знака ( x ):
- Если ( x \geq 0 ), то ( |2x|=2x ).
- Если ( x<0 ), то ( |2x|=-2x ).
Рассмотрим оба случая.
Шаг 2. Разобьём функцию на два участка
Для ( x \geq 0 ):
[ |2x|=2x ]
Тогда
[ y= (2x)(x+2) + 2x ]
Раскроем скобки:
[ y=2x(x+2) + 2x = 2x^2 + 4x + 2x = 2x^2 + 6x ]
Для ( x<0 ):
[ |2x|=-2x ]
Тогда
[ y= (-2x)(x+2) + 2x ]
Раскроем скобки:
[ y= -2x(x+2) + 2x = -2x^2 - 4x + 2x = -2x^2 - 2x ]
Шаг 3. Получили кусочно-заданную функцию
[ y= \begin{cases}
-2x^2 - 2x, & x<0 \[6pt]
2x^2 + 6x, & x \geq 0
\end{cases} ]
Шаг 4. Построение графика
При ( x<0 ):
Парабола ( y=-2x^2 - 2x ), ветви вниз отклонены вверх (бочка, направленная вниз).При ( x \geq 0 ):
Парабола ( y=2x^2 + 6x ), ветви вверх.
График состоит из двух соединяющихся кусочков парабол.
Шаг 5. Этап нахождения точек пересечения с прямой ( y=m )
Рассмотрим прямую:
[ y=m ]
Чтобы найти точки пересечения, приравняем функции к ( m ):
- Для ( x<0 ): [ -2x^2 - 2x = m ]
- Для ( x \geq 0 ): [ 2x^2 + 6x = m ]
Это уравнения квадратичные:
[ -2x^2 - 2x - m=0 ]
[ 2x^2 + 6x - m=0 ]
Шаг 6. Количество решений для каждого уравнения
Чтобы точек было ровно две, должно выполняться условие:
- в одной части — может быть 0, 1, или 2 пересечения;
- в другой — также, чтобы в сумме было ровно 2.
Обратим внимание, что:
- Каждое из уравнений — квадратичное.
- Количество решений зависит от дискриминанта.
Нам нужны такие ( m ), при которых:
- Общее число решений равно ровно 2.
Рассмотрим разные случаи.
Шаг 7. Анализ решений уравнений
Для ( x<0 ):
[ -2x^2 - 2x - m=0 ]
Дискриминант:
[ D_1 = (-2)^2 - 4 \times (-2) \times (-m) = 4 - 8m ]
Чтобы было два решения: [ D_1>0 \Rightarrow 4-8m>0 \Rightarrow m<\frac{1}{2} ].
- В случае ( D_1=0 ): [ m=\frac{1}{2} ] — одно решение, тогда возможна ситуация с ровно 1 пересечением (одно решение на границе).
- В случае ( D_1<0 ): решений нет.
Для ( x\geq 0 ):
[ 2x^2 + 6x - m=0 ]
Дискриминант:
[ D_2= 6^2 - 4 \times 2 \times (-m) =36 + 8m ]
Чтобы было два решения: [ D_2>0 \Rightarrow 36 +8m >0 \Rightarrow m > -\frac{36}{8} = -4.5 ].
- В случае ( D_2=0 ): [ m = -\frac{36}{8} = -4.5 ], тогда одна точка пересечения (на границе или на одной из парабол).
Итоговые случаи для ровно двух точек пересечения:
Случай 1: обоих уравнений дают по одному решению, и эти решения разные → всего 2 точки:
— при условии, что:
[ D_1>0,\ D_2>0 ]
[ m<0.5,\ m>-4.5 ]
и при этом корни не совпадают, чтобы не было пересечения в одной точке.Случай 2: у одного уравнения ни решений, у другого — два. Тогда будет ровно одно пересечение — не подходит.
Случай 3: оба уравнения дают по одному решению — всего 2 точки или 1 или 0 — не подходит.
Итоговые значения ( m ):
Для двух решений, чтобы было ровно 2 точки:
- ( m \in (-4.5, 0.5) ) — оба дискриминанта положительны.
Но важно проверить еще, что решения уравнений соответствуют условиям ( x<0 ) и ( x\geq 0 ).
Шаг 8. Проверка решения
Приведем итоги:
- ( D_1=4-8m>0 \implies m<0.5 )
- ( D_2=36+8m>0 \implies m>-4.5 )
Итак, для одновременно положительных дискриминантов,
[ m \in (-4.5, 0.5) ]
В этом диапазоне каждый квадратичный уравнение иметь по 2 решения.
Количество пересечений: ровно 2, потому что каждое уравнение имеет по 2 решения, и эти решениия лежат на соответствующих участках.
Ответ:
Значения m, при которых прямая ( y=m ) имеет ровно две точки пересечения, это все m в интервале ((-4.5, 0.5)).
Но в условии есть просьба записать их без пробелов, запятых и других символов, — то есть, в виде строки.
Ответ:
-4.50.5
Если нужно, я могу дополнительно проверить конкретные границы, но они — не включаются, так как там один или ноль пересечений.
Итог:
Прямая ( y=m ) имеет ровно две точки пересечения с графиком функции при:
Ответ: -4.5 и 0.5
(так как решение включает границы — в самом рассмотрении, в точках этих границ решений будет меньше — по условию — "ровно два", поэтому исключаем границы):
Финальный ответ:
Ответ:
-4.5 0.5
(по условию — всё без пробелов, запятых).
Ответ: -4.50.5
Если есть дополнительные вопросы — скажите!
Понравился ответ?
Задай свой вопрос
Напиши любую задачу или вопрос, а нейросеть её решит
