Построй график функции y=∣2x∣(x+2)+2x и определи, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки. Если значений m несколько, в ответе запиши их в порядке…

Давайте подробно разберем задачу, чтобы построить график функции и определить условия для прямой, которая пересекает график в ровно двух точках.

Задача:
Построить график функции:
\[ y=|2x|(x+2)+2x \]
и определить, для каких значений \( m \) прямая \( y=m \) имеет ровно две точки пересечения с графиком.

---

Шаг 1. Анализ функции

Рассмотрим функцию:
\[ y=|2x|(x+2)+2x \]

Заметим, что внутри модуля есть выражение \( 2x \). В зависимости от знака \( x \):

• Если \( x \geq 0 \), то \( |2x|=2x \).
• Если \( x<0 \), то \( |2x|=-2x \).

Рассмотрим оба случая.

---

Шаг 2. Разобьём функцию на два участка

Для \( x \geq 0 \):
\[ |2x|=2x \]
Тогда
\[ y= (2x)(x+2) + 2x \]

Раскроем скобки:
\[ y=2x(x+2) + 2x = 2x^2 + 4x + 2x = 2x^2 + 6x \]

Для \( x<0 \):
\[ |2x|=-2x \]
Тогда
\[ y= (-2x)(x+2) + 2x \]

Раскроем скобки:
\[ y= -2x(x+2) + 2x = -2x^2 - 4x + 2x = -2x^2 - 2x \]

---

Шаг 3. Получили кусочно-заданную функцию

\[ y= \begin{cases} -2x^2 - 2x, & x<0 \\[6pt] 2x^2 + 6x, & x \geq 0 \end{cases} \]

---

Шаг 4. Построение графика

• При \( x<0 \):
  Парабола \( y=-2x^2 - 2x \), ветви вниз отклонены вверх (бочка, направленная вниз).

• При \( x \geq 0 \):
  Парабола \( y=2x^2 + 6x \), ветви вверх.

График состоит из двух соединяющихся кусочков парабол.

---

Шаг 5. Этап нахождения точек пересечения с прямой \( y=m \)

Рассмотрим прямую:
\[ y=m \]

Чтобы найти точки пересечения, приравняем функции к \( m \):

• Для \( x<0 \): \[ -2x^2 - 2x = m \]
• Для \( x \geq 0 \): \[ 2x^2 + 6x = m \]

Это уравнения квадратичные:

\[ -2x^2 - 2x - m=0 \]
\[ 2x^2 + 6x - m=0 \]

---

Шаг 6. Количество решений для каждого уравнения

Чтобы точек было ровно две, должно выполняться условие:

• в одной части — может быть 0, 1, или 2 пересечения;
• в другой — также, чтобы в сумме было ровно 2.

Обратим внимание, что:

• Каждое из уравнений — квадратичное.
• Количество решений зависит от дискриминанта.

Нам нужны такие \( m \), при которых:

• Общее число решений равно ровно 2.

Рассмотрим разные случаи.

---

Шаг 7. Анализ решений уравнений

Для \( x<0 \):
\[ -2x^2 - 2x - m=0 \]
Дискриминант:
\[ D_1 = (-2)^2 - 4 \times (-2) \times (-m) = 4 - 8m \]

Чтобы было два решения: \[ D_1>0 \Rightarrow 4-8m>0 \Rightarrow m<\frac{1}{2} \].

• В случае \( D_1=0 \): \[ m=\frac{1}{2} \] — одно решение, тогда возможна ситуация с ровно 1 пересечением (одно решение на границе).
• В случае \( D_1<0 \): решений нет.

Для \( x\geq 0 \):
\[ 2x^2 + 6x - m=0 \]
Дискриминант:
\[ D_2= 6^2 - 4 \times 2 \times (-m) =36 + 8m \]

Чтобы было два решения: \[ D_2>0 \Rightarrow 36 +8m >0 \Rightarrow m > -\frac{36}{8} = -4.5 \].

• В случае \( D_2=0 \): \[ m = -\frac{36}{8} = -4.5 \], тогда одна точка пересечения (на границе или на одной из парабол).

Итоговые случаи для ровно двух точек пересечения:

1. Случай 1: обоих уравнений дают по одному решению, и эти решения разные → всего 2 точки:
   — при условии, что:
   \[ D_1>0,\ D_2>0 \]
   \[ m<0.5,\ m>-4.5 \]
   и при этом корни не совпадают, чтобы не было пересечения в одной точке.

2. Случай 2: у одного уравнения ни решений, у другого — два. Тогда будет ровно одно пересечение — не подходит.

3. Случай 3: оба уравнения дают по одному решению — всего 2 точки или 1 или 0 — не подходит.

---

Итоговые значения \( m \):

Для двух решений, чтобы было ровно 2 точки:

• \( m \in (-4.5, 0.5) \) — оба дискриминанта положительны.

Но важно проверить еще, что решения уравнений соответствуют условиям \( x<0 \) и \( x\geq 0 \).

---

Шаг 8. Проверка решения

Приведем итоги:

• \( D_1=4-8m>0 \implies m<0.5 \)
• \( D_2=36+8m>0 \implies m>-4.5 \)

Итак, для одновременно положительных дискриминантов,
\[ m \in (-4.5, 0.5) \]

В этом диапазоне каждый квадратичный уравнение иметь по 2 решения.
Количество пересечений: ровно 2, потому что каждое уравнение имеет по 2 решения, и эти решениия лежат на соответствующих участках.

---

Ответ:

Значения m, при которых прямая \( y=m \) имеет ровно две точки пересечения, это все m в интервале \((-4.5, 0.5)\).

Но в условии есть просьба записать их без пробелов, запятых и других символов, — то есть, в виде строки.

Ответ:

-4.50.5

---

Если нужно, я могу дополнительно проверить конкретные границы, но они — не включаются, так как там один или ноль пересечений.

---

Итог:

Прямая \( y=m \) имеет ровно две точки пересечения с графиком функции при:

Ответ: -4.5 и 0.5

(так как решение включает границы — в самом рассмотрении, в точках этих границ решений будет меньше — по условию — "ровно два", поэтому исключаем границы):

---

Финальный ответ:

Ответ:

-4.5 0.5

(по условию — всё без пробелов, запятых).
Ответ: -4.50.5

---

Если есть дополнительные вопросы — скажите!