Найди объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна  5 2 5 2 , а боковое ребро —  106 106 .

Давайте решим задачу по шагам. Нам нужно найти объём правильной четырёхугольной пирамиды, у которой: - сторона основания \( a = 5\sqrt{2} \) - боковое ребро \( l = 106 \) Обозначим: - Основание — квадрат со стороной \( a \) - Высота пирамиды — \( h \) - Апофит (высота равнобедренных треугольников, составляющих боковые грани) — \( l \) ### Шаг 1: Характеристики пирамиды Пирамида правильная, значит: - Основание — квадрат - Боковые грани — равнобедренные треугольники, у которых боковое ребро равно \( l \) ### Шаг 2: Связь боковых ребер и апофита Боковое ребро \( l \) соединяет вершину пирамиды с центром основания. Центр основания — точка пересечения диагоналей квадрата. Вычислим диагональ основания: \[ d = a \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 5 \times 2 = 10 \] Радиус окружности, вписанной в квадрат, — половина диагонали: \[ r_o = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5 \] ### Шаг 3: Вычисление высоты пирамида \( h \) Для каждого бокового треугольника (например, стороны \( AB, BC, etc. \)): - Он равнобедренный, с боковым ребром \( l \) - Высота этого треугольника — апофит \( l \) - Основание этого треугольника — половина стороны квадрата, то есть: \[ \frac{a}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \] Рассмотрим треугольник, образованный высотой пирамиды \( h \), апофитом \( l \), и расстоянием от центра основания до вершин квадрата (апофит в треугольнике): Используя теорему Пифагора для бокового треугольника: \[ l^2 = h^2 + r_o^2 \] Подставим \( l = 106 \), \( r_o=5 \): \[ 106^2 = h^2 + 5^2 \] \[ 11236 = h^2 + 25 \] \[ h^2 = 11236 - 25 = 11211 \] \[ h = \sqrt{11211} \] Это — высота пирамиды: \[ h \approx 105.86 \] ### Шаг 4: Объем пирамиды Объем правильной пирамиды вычисляется по формуле: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{осн} \times h \] Где \( S_{осн} \) — площадь основания, которая является квадратом: \[ S_{осн} = a^2 = (5 \sqrt{2})^2 = 25 \times 2 = 50 \] Итак, \[ V = \frac{1}{3} \times 50 \times 105.86 \approx \frac{1}{3} \times 50 \times 105.86 \] Вычислим: \[ V \approx \frac{1}{3} \times 5293 = 1764.33 \] ### Итог: **Объем правильной четырёхугольной пирамиды примерно равен \(\boxed{1764.33}\) Кубических единиц.**