Найди объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 5 2 5 2 , а боковое ребро — 106 106 .

Давайте решим задачу по шагам. Нам нужно найти объём правильной четырёхугольной пирамиды, у которой:

• сторона основания \( a = 5\sqrt{2} \)
• боковое ребро \( l = 106 \)

Обозначим:

• Основание — квадрат со стороной \( a \)
• Высота пирамиды — \( h \)
• Апофит (высота равнобедренных треугольников, составляющих боковые грани) — \( l \)

Шаг 1: Характеристики пирамиды

Пирамида правильная, значит:

• Основание — квадрат
• Боковые грани — равнобедренные треугольники, у которых боковое ребро равно \( l \)

Шаг 2: Связь боковых ребер и апофита

Боковое ребро \( l \) соединяет вершину пирамиды с центром основания. Центр основания — точка пересечения диагоналей квадрата.

Вычислим диагональ основания:

\[ d = a \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 5 \times 2 = 10 \]

Радиус окружности, вписанной в квадрат, — половина диагонали:

\[ r_o = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

Шаг 3: Вычисление высоты пирамида \( h \)

Для каждого бокового треугольника (например, стороны \( AB, BC, etc. \)):

• Он равнобедренный, с боковым ребром \( l \)
• Высота этого треугольника — апофит \( l \)
• Основание этого треугольника — половина стороны квадрата, то есть:

\[ \frac{a}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \]

Рассмотрим треугольник, образованный высотой пирамиды \( h \), апофитом \( l \), и расстоянием от центра основания до вершин квадрата (апофит в треугольнике):

Используя теорему Пифагора для бокового треугольника:

\[ l^2 = h^2 + r_o^2 \]

Подставим \( l = 106 \), \( r_o=5 \):

\[ 106^2 = h^2 + 5^2 \] \[ 11236 = h^2 + 25 \] \[ h^2 = 11236 - 25 = 11211 \] \[ h = \sqrt{11211} \]

Это — высота пирамиды:

\[ h \approx 105.86 \]

Шаг 4: Объем пирамиды

Объем правильной пирамиды вычисляется по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} \times S_{осн} \times h \]

Где \( S_{осн} \) — площадь основания, которая является квадратом:

\[ S_{осн} = a^2 = (5 \sqrt{2})^2 = 25 \times 2 = 50 \]

Итак,

\[ V = \frac{1}{3} \times 50 \times 105.86 \approx \frac{1}{3} \times 50 \times 105.86 \]

Вычислим:

\[ V \approx \frac{1}{3} \times 5293 = 1764.33 \]

Итог:

Объем правильной четырёхугольной пирамиды примерно равен \(\boxed{1764.33}\) Кубических единиц.