Конечно! Давайте подробно разберемся с задачей.
Дано:
- В треугольнике ( ABC ):
- ( AC = 7 )
- ( \angle A = 60^\circ )
- ( \angle C = 90^\circ )
Найти: радиус описанной окружности ( R ).
Шаг 1: Определение известных данных и условий
Поскольку ( \angle C = 90^\circ ), то треугольник ( ABC ) является прямоугольным, гипотенузой является сторона ( AB ).
Также у нас есть ( \angle A = 60^\circ ). Тогда:
[ \angle B = 180^\circ - (90^\circ + 60^\circ) = 30^\circ. ]
Итак, углы:
- ( \angle A = 60^\circ )
- ( \angle B = 30^\circ )
- ( \angle C = 90^\circ )
Шаг 2: Использование известных сторон для прямоугольного треугольника
В прямоугольном треугольнике со сторонами, противоположными углам 30°, 60° и 90°, известна классическая пропорция:
- Против стороны ( 30^\circ ) — меньше стороны по гипотенузе;
- Против ( 60^\circ ) — сторона равна ( \frac{1}{\sqrt{3}} ) от гипотенузы;
- Гипотенуза — самая длинная сторона.
Обозначим:
[
\text{Гипотенуза} = AB = c
]
Обозначим стороны:
- ( BC = a ) (против ( \angle A = 60^\circ ))
- ( AC = b ) (против ( \angle B = 30^\circ ))
- ( AB = c ) (гипотенуза)
Шаг 3: Найдем сторону ( BC )
Зная, что ( \angle A = 60^\circ ) и противоположная ей сторона ( BC ), и используя свойства треугольника:
[
BC = a = c \times \sin 60^\circ = c \times \frac{\sqrt{3}}{2}
]
Также, ( AC = b = c \times \sin 30^\circ ):
[
AC = 7 = c \times \frac{1}{2}
]
отсюда:
[
c = 2 \times 7 = 14
]
Теперь найдем ( BC ):
[
BC = a = 14 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 7 \sqrt{3}
]
Шаг 4: Проверка и расчет радиуса описанной окружности ( R )
В прямом треугольнике гипотенуза ( c ) равна диаметру окружности, описанной вокруг треугольника:
[
R = \frac{c}{2}
]
Поскольку гипотенуза ( AB = c = 14 ), то радиус описанной окружности:
[
R = \frac{14}{2} = 7
]
Ответ:
[
\boxed{
R = 7
}
]
Радиус описанной окружности этого треугольника равен 7 единиц.
Если есть дополнительные вопросы или нужно пояснение — обращайтесь!
