В треугольнике ABC известно, что AC=7 угол A=60 градусам, угол C 90 градусам. Найти радиус описанной окружности этого треугольника.
Конечно! Давайте подробно разберемся с задачей.
Дано:
- В треугольнике \( ABC \):
- \( AC = 7 \)
- \( \angle A = 60^\circ \)
- \( \angle C = 90^\circ \)
Найти: радиус описанной окружности \( R \).
Шаг 1: Определение известных данных и условий
Поскольку \( \angle C = 90^\circ \), то треугольник \( ABC \) является прямоугольным, гипотенузой является сторона \( AB \).
Также у нас есть \( \angle A = 60^\circ \). Тогда: \[ \angle B = 180^\circ - (90^\circ + 60^\circ) = 30^\circ. \]
Итак, углы:
- \( \angle A = 60^\circ \)
- \( \angle B = 30^\circ \)
- \( \angle C = 90^\circ \)
Шаг 2: Использование известных сторон для прямоугольного треугольника
В прямоугольном треугольнике со сторонами, противоположными углам 30°, 60° и 90°, известна классическая пропорция:
- Против стороны \( 30^\circ \) — меньше стороны по гипотенузе;
- Против \( 60^\circ \) — сторона равна \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) от гипотенузы;
- Гипотенуза — самая длинная сторона.
Обозначим:
\[ \text{Гипотенуза} = AB = c \]
Обозначим стороны:
- \( BC = a \) (против \( \angle A = 60^\circ \))
- \( AC = b \) (против \( \angle B = 30^\circ \))
- \( AB = c \) (гипотенуза)
Шаг 3: Найдем сторону \( BC \)
Зная, что \( \angle A = 60^\circ \) и противоположная ей сторона \( BC \), и используя свойства треугольника:
\[ BC = a = c \times \sin 60^\circ = c \times \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Также, \( AC = b = c \times \sin 30^\circ \):
\[ AC = 7 = c \times \frac{1}{2} \] отсюда:
\[ c = 2 \times 7 = 14 \]
Теперь найдем \( BC \):
\[ BC = a = 14 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 7 \sqrt{3} \]
Шаг 4: Проверка и расчет радиуса описанной окружности \( R \)
В прямом треугольнике гипотенуза \( c \) равна диаметру окружности, описанной вокруг треугольника:
\[ R = \frac{c}{2} \]
Поскольку гипотенуза \( AB = c = 14 \), то радиус описанной окружности:
\[ R = \frac{14}{2} = 7 \]
Ответ:
\[ \boxed{ R = 7 } \]
Радиус описанной окружности этого треугольника равен 7 единиц.
Если есть дополнительные вопросы или нужно пояснение — обращайтесь!
