На клетки стандартной шахматной доске случайным образом поставили 4 фигуры при этом оказалось что по крайней мере 2 из низ стоят на краю доски. Найдите вероятность того, что их других двух фигур ни одна не стоит на краю доски

Рассмотрим задачу по шагам. **Задание:** На стандартной шахматной доске (8x8) случайным образом поставили 4 фигуры. Известно, что как минимум 2 из них стоят на краю доски. Нужно найти вероятность того, что остальные 2 фигуры не стоят на краю. --- ### 1. Постановка задачи: Обозначим: - Всего клеток: \( 8 \times 8 = 64 \). - Клетки на краю доски: все клетки, находящиеся на границах доски. Их всего: \[ \text{Количество крайних клеток} = 4 \times 8 - 4 = 28, \] так как границы пересекаются в уголках, и каждую сторону считаем отдельно. **Общее число всех способов выбрать 4 клетки из 64:** \[ C_{64}^4 \] (комбинаций без учета порядка). --- ### 2. Условие: - Минимум 2 фигуры стоят на краю: событие \( A \). - Нас интересует вероятность, что оставшиеся 2 фигуры не стоят на краю (то есть оба — внутри доски), при условии \( A \). Обозначим: - \( E \): событие, что **по крайней мере**, 2 фигур на краю. - \( P \): вероятность, что **две оставшиеся** фигуры — внутри доски (не на краю), при условии \( A \). --- ### 3. Решаем задачу через условную вероятность: \[ P = \frac{\text{число способов расположить 4 фигуры так, чтобы было минимум 2 на краю и 2 внутри,}}{\text{число способов расположить 4 фигуры так, чтобы было минимум 2 на краю}}. \] Но проще: - учесть, что 2 или 3 или 4 фигуры на краю. - Найти вероятность, что из этих минимум 2 на краю, остальные две внутри. --- ### 4. Посчитаем вероятности по числам: Обозначим: - \( k \): число фигур на краю, где \( k \geq 2 \) и \( k \leq 4 \). Рассмотрим все возможные \( k \): **Край:** 28 клеток, **Внутри:** \( 64 - 28 = 36 \). --- ### 5. Вероятности по числам \( k \): Общее число способов выбрать 4 клетки без условий: \[ C_{64}^4. \] **Для каждого \( k \):** - число способов выбрать \( k \) клеток на краю: \[ C_{28}^k, \] - число способов выбрать оставшие \( 4 - k \) клеток внутри: \[ C_{36}^{4 - k}, \] - итого для фиксированного \( k \): \[ C_{28}^k \times C_{36}^{4 - k}. \] ### 6. Условие "по крайней мере 2 на краю" Общее число вариантов: \[ \sum_{k=2}^4 C_{28}^k \times C_{36}^{4 - k}. \] --- ### 7. Вероятность, что **внутри** — оба оставшихся фигуры (т.е. что остальные 2 фигуры внутри доски), при условии, что было минимум 2 на краю: Для этого ситуации, когда ровно \( k \) фигур на краю, нас интересует, чтобы оставшиеся две — внутри доски. Пересчитаем условную вероятность для каждого \( k \): - Когда \( k = 2 \): Тогда из 4: - 2 на краю, - 2 внутри. Все 4 фигуры уже распределены: Вероятность того, что остальные 2 — внутри: \[ \frac{C_{28}^2 \times C_{36}^{2}}{\sum_{k=2}^{4} C_{28}^k \times C_{36}^{4 - k}} \] — в этом случае, это — натуральное условие, поскольку мы говорим о случаях с \( k=2 \). - Когда \( k=3 \): Тогда из 4: - 3 на краю, - 1 внутри. Нас интересует полностью, чтобы оставшиеся 2 — внутри, при этом, исходя из условий, допустимо только при \( k=2 \), потому что остальные фигуры внутри — двух. Но при \( k=3 \), 1 внутри, и она не является нашими двумя "оставшимися", поэтому рассматриваем только \( k=2 \). - Когда \( k=4 \): Тогда все на краю, и нет фигур внутри, что противоречит условию о "двух внутри". --- ### 8. Итоговая вероятность: Только случай \( k=2 \) подходит: - число способов выбрать 2 фигуры на краю и 2 внутри: \[ C_{28}^2 \times C_{36}^2, \] - всего числа способов выбрать по условию: \[ \sum_{k=2}^4 C_{28}^k \times C_{36}^{4 - k}. \] Следовательно, вероятность: \[ \boxed{ P = \frac{C_{28}^2 \times C_{36}^2}{\sum_{k=2}^4 C_{28}^k \times C_{36}^{4 - k}} } \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Вероятность} = \frac{\binom{28}{2} \times \binom{36}{2}}{\binom{28}{2} \times \binom{36}{2} + \binom{28}{3} \times \binom{36}{1} + \binom{28}{4} \times \binom{36}{0}} } \] или в виде чисел: \[ P = \frac{\binom{28}{2} \times \binom{36}{2}}{\binom{28}{2} \times \binom{36}{2} + \binom{28}{3} \times \binom{36}{1} + \binom{28}{4} \times 1} \] --- Если нужно, я могу посчитать численные значения.