реши задание
Давайте подробно решим задачу.
Задание состоит из двух частей. В первой части необходимо установить соответствие между неравенствами и решениями. Вторая часть — также установить соответствие по аналогии. Сделаем это шаг за шагом.
Часть 1: Анализ первых двух неравенств
Неравенства:
- \( x^2 + 8x + 15 \geq 0 \)
- \( x^2 - 8x + 15 \geq 0 \)
Решим каждое неравенство:
1) \( x^2 + 8x + 15 \geq 0 \)
Найдём корни уравнения:
\( x^2 + 8x + 15 = 0 \)Используем дискриминант:
\( D = 8^2 - 4 \times 1 \times 15 = 64 - 60 = 4 \)Корни уравнения:
\( x = \frac{-8 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-8 \pm 2}{2} \)Получаем:
\( x = \frac{-8 + 2}{2} = -3 \)
\( x = \frac{-8 - 2}{2} = -5 \)Значит, квадратичная функция \( x^2 + 8x +15 \) — парабола, направленная вверх, с корнями \(-5\) и \(-3\):
Наличие знака неравенства: \( \geq 0 \) — означает, что выражение неотрицательно вне интервалов между корнями.
Поэтому:
\[ x^2 + 8x + 15 \geq 0 \] Верно при \( x \leq -5 \) или \( x \geq -3 \).
Ответ:
\( x \leq -5 \) или \( x \geq -3 \)
2) \( x^2 - 8x + 15 \geq 0 \)
Корни уравнения:
\( x^2 - 8x + 15 = 0 \)Дискриминант:
\( D = (-8)^2 - 4 \times 1 \times 15 = 64 - 60 = 4 \)Корни:
\( x = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{8 \pm 2}{2} \)Получаем:
\( x = 5 \) и \( x = 3 \)Парабола с ветвями вверх, корни — 3 и 5. Неравенство \( \geq 0 \):
Это верно при \( x \leq 3 \) или \( x \geq 5 \).
Ответ:
\( x \leq 3 \) или \( x \geq 5 \)
Объединение:
- Для первого неравенства: \( x \leq -5 \) или \( x \geq -3 \)
- Для второго: \( x \leq 3 \) или \( x \geq 5 \)
Соответствие:
- \( x \leq 3 \) или \( x \geq 5 \) — № 2
- \( -1 \leq x \leq 15 \) — не подходит (это другого характера, неравенство не найдено выше, возможно — из другого уравнения)
- \( x \leq -5 \) или \( x \geq -3 \) — № 3 или 4? просмотрим далее
Часть 2: Анализ неравенств с выражениями, похожими на дроби и квадраты
Теперь посмотрим на неравенства из второй части:
- \( (x-1)(x-2)<0 \)
- \( \frac{x-1}{x-2} > 0 \)
- \( (x-1)^2 (x-2) < 0 \)
- \( \frac{(x-2)^2}{x-1} > 0 \)
Рассмотрим каждое неравенство:
1) \( (x-1)(x-2) < 0 \)
Решаем: произведение двух выражений меньше нуля — значит, они имеют разные знаки.
Корни: 1 и 2.
Поделим числовую прямую:
- \( x < 1 \): оба выражения отрицательны, произведение положительно → не подходит.
- \( 1 < x < 2 \): одно отрицательное, другое положительное → произведение отрицательное → подходит.
- \( x > 2 \): оба положительные → произведение положительное → не подходит.
Ответ:
\( 1 < x < 2 \).
2) \( \frac{x-1}{x-2} > 0 \)
Знаменатель не равен нулю: \( x \neq 2 \).
Знак дроби зависит от числителя и знаменателя:
- \( x-1 > 0 \Rightarrow x >1 \)
- \( x-2 > 0 \Rightarrow x > 2 \)
Тогда дробь положительна, когда:
- оба выражения положительны: \( x > 2 \)
- оба отрицательны: \( x < 1 \) (так как тогда числитель и знаменатель отрицательны, деление даёт положительный результат)
Ответ:
\( x < 1 \) или \( x > 2 \).
3) \( (x-1)^2 (x-2) < 0 \)
\( (x-1)^2 \geq 0 \) всегда (квадрат любого числа — неотрицателен).
Чтобы произведение было менее нуля, необходимо, чтобы \( (x-2) < 0 \), то есть \( x < 2 \), а \( (x-1)^2 \geq 0 \), так что произведение:
- Всегда неотрицательное или равно нулю, кроме ситуации, когда \( (x-1)^2 = 0 \), т.е., \( x=1 \). Тогда произведение равно 0, не меньше 0.
Тогда:
- Для произведения \( < 0 \), необходимо, чтобы \( (x-2) < 0 \), т.е., \( x < 2 \), и \( (x-1)^2 \neq 0 \), то есть \( x \neq 1 \).
Следовательно, \( x < 2 \), но \( x \neq 1 \).
Ответ:
\( x < 2 \), \( x \neq 1 \).
4) \( \frac{(x-2)^2}{x-1} > 0 \)
\( (x-2)^2 \geq 0 \) и равно 0 при \( x=2 \).
Деление на \( x-1 \):
- Делитель не равен нулю: \( x \neq 1 \).
Знак дроби зависит от знака делителя:
\( x-1 > 0 \Rightarrow x > 1 \),
\( x-1 < 0 \Rightarrow x <1 \).
Так как числитель — квадрат, он неотрицателен.
Для дроби \( > 0 \):
Если \( (x-2)^2 > 0 \) (при \( x \neq 2 \)), тогда деление даст \( > 0 \) при \( x-1 > 0 \), то есть \( x>1 \).
В случае \( x=2 \), числитель равен 0, деление равно 0, не больше нуля, не подходит.
Итак:
- \( x>1 \), \( x \neq 2 \).
Ответ:
\( x > 1 \), \( x \neq 2 \).
Обобщение:
Это даёт связь с решениями из таблицы:
| А | Б | В | Г |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 |
Из этого мы можем сформировать окончательное соответствие.
Заключение:
Учитывая решения, соответствия для задач из таблиц:
Первая часть:
- Неравенство 1) — подходит к ответу 2.
- Неравенство 2) — подходит к ответу 3.
Вторая часть:
- Неравенство 1) — что у нас — подход к 1.
- Неравенство 2) — подход к 4,
- Неравенство 3)
