Реши задание

Давайте подробно решим задачу. Задание состоит из двух частей. В первой части необходимо установить соответствие между неравенствами и решениями. Вторая часть — также установить соответствие по аналогии. Сделаем это шаг за шагом. --- **Часть 1: Анализ первых двух неравенств** **Неравенства:** 1. \( x^2 + 8x + 15 \geq 0 \) 2. \( x^2 - 8x + 15 \geq 0 \) **Решим каждое неравенство:** **1) \( x^2 + 8x + 15 \geq 0 \)** - Найдём корни уравнения: \( x^2 + 8x + 15 = 0 \) - Используем дискриминант: \( D = 8^2 - 4 \times 1 \times 15 = 64 - 60 = 4 \) - Корни уравнения: \( x = \frac{-8 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-8 \pm 2}{2} \) - Получаем: \( x = \frac{-8 + 2}{2} = -3 \) \( x = \frac{-8 - 2}{2} = -5 \) - Значит, квадратичная функция \( x^2 + 8x +15 \) — парабола, направленная вверх, с корнями \(-5\) и \(-3\): - Наличие знака неравенства: \( \geq 0 \) — означает, что выражение неотрицательно вне интервалов между корнями. - Поэтому: \[ x^2 + 8x + 15 \geq 0 \] Верно при \( x \leq -5 \) или \( x \geq -3 \). **Ответ:** \( x \leq -5 \) или \( x \geq -3 \) --- **2) \( x^2 - 8x + 15 \geq 0 \)** - Корни уравнения: \( x^2 - 8x + 15 = 0 \) - Дискриминант: \( D = (-8)^2 - 4 \times 1 \times 15 = 64 - 60 = 4 \) - Корни: \( x = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{8 \pm 2}{2} \) - Получаем: \( x = 5 \) и \( x = 3 \) - Парабола с ветвями вверх, корни — 3 и 5. Неравенство \( \geq 0 \): Это верно при \( x \leq 3 \) или \( x \geq 5 \). **Ответ:** \( x \leq 3 \) или \( x \geq 5 \) --- **Объединение:** - Для первого неравенства: \( x \leq -5 \) или \( x \geq -3 \) - Для второго: \( x \leq 3 \) или \( x \geq 5 \) **Соответствие:** - 1) \( x \leq 3 \) или \( x \geq 5 \) — № 2 - 2) \( -1 \leq x \leq 15 \) — не подходит (это другого характера, неравенство не найдено выше, возможно — из другого уравнения) - 3) \( x \leq -5 \) или \( x \geq -3 \) — № 3 или 4? просмотрим далее --- **Часть 2: Анализ неравенств с выражениями, похожими на дроби и квадраты** Теперь посмотрим на неравенства из второй части: 1. \( (x-1)(x-2)<0 \) 2. \( \frac{x-1}{x-2} > 0 \) 3. \( (x-1)^2 (x-2) < 0 \) 4. \( \frac{(x-2)^2}{x-1} > 0 \) --- **Рассмотрим каждое неравенство:** **1) \( (x-1)(x-2) < 0 \)** - Решаем: произведение двух выражений меньше нуля — значит, они имеют разные знаки. - Корни: 1 и 2. - Поделим числовую прямую: - \( x < 1 \): оба выражения отрицательны, произведение положительно → не подходит. - \( 1 < x < 2 \): одно отрицательное, другое положительное → произведение отрицательное → подходит. - \( x > 2 \): оба положительные → произведение положительное → не подходит. **Ответ:** \( 1 < x < 2 \). --- **2) \( \frac{x-1}{x-2} > 0 \)** - Знаменатель не равен нулю: \( x \neq 2 \). - Знак дроби зависит от числителя и знаменателя: - \( x-1 > 0 \Rightarrow x >1 \) - \( x-2 > 0 \Rightarrow x > 2 \) - Тогда дробь положительна, когда: - оба выражения положительны: \( x > 2 \) - оба отрицательны: \( x < 1 \) (так как тогда числитель и знаменатель отрицательны, деление даёт положительный результат) **Ответ:** \( x < 1 \) или \( x > 2 \). --- **3) \( (x-1)^2 (x-2) < 0 \)** - \( (x-1)^2 \geq 0 \) всегда (квадрат любого числа — неотрицателен). - Чтобы произведение было менее нуля, необходимо, чтобы \( (x-2) < 0 \), то есть \( x < 2 \), а \( (x-1)^2 \geq 0 \), так что произведение: - Всегда неотрицательное или равно нулю, кроме ситуации, когда \( (x-1)^2 = 0 \), т.е., \( x=1 \). Тогда произведение равно 0, не меньше 0. - Тогда: - Для произведения \( < 0 \), необходимо, чтобы \( (x-2) < 0 \), т.е., \( x < 2 \), и \( (x-1)^2 \neq 0 \), то есть \( x \neq 1 \). - Следовательно, \( x < 2 \), но \( x \neq 1 \). **Ответ:** \( x < 2 \), \( x \neq 1 \). --- **4) \( \frac{(x-2)^2}{x-1} > 0 \)** - \( (x-2)^2 \geq 0 \) и равно 0 при \( x=2 \). - Деление на \( x-1 \): - Делитель не равен нулю: \( x \neq 1 \). - Знак дроби зависит от знака делителя: - \( x-1 > 0 \Rightarrow x > 1 \), - \( x-1 < 0 \Rightarrow x <1 \). - Так как числитель — квадрат, он неотрицателен. - Для дроби \( > 0 \): - Если \( (x-2)^2 > 0 \) (при \( x \neq 2 \)), тогда деление даст \( > 0 \) при \( x-1 > 0 \), то есть \( x>1 \). - В случае \( x=2 \), числитель равен 0, деление равно 0, не больше нуля, не подходит. - Итак: - \( x>1 \), \( x \neq 2 \). **Ответ:** \( x > 1 \), \( x \neq 2 \). --- **Обобщение:** Это даёт связь с решениями из таблицы: | А | Б | В | Г | |:---:|:---:|:---:|:---:| | 1 | 2 | 3 | 4 | Из этого мы можем сформировать окончательное соответствие. --- **Заключение:** Учитывая решения, соответствия для задач из таблиц: - Первая часть: - Неравенство 1) — подходит к ответу 2. - Неравенство 2) — подходит к ответу 3. - Вторая часть: - Неравенство 1) — что у нас — подход к 1. - Неравенство 2) — подход к 4, - Неравенство 3)