Давайте решим задачу пошагово.
Обозначим:
- скорость второго автомобиля — (v) км/ч
- скорость первого автомобиля — (v + 10) км/ч
Расстояние между городами — 560 км.
Из условия известно, что первый автомобиль приезжает на место на 1 час раньше второго, то есть:
- Время поездки первого автомобиля: (t_1 = \frac{560}{v + 10})
- Время поездки второго автомобиля: (t_2 = \frac{560}{v})
Также известно, что:
[
t_2 - t_1 = 1
]
Подставим выражения для времени:
[
\frac{560}{v} - \frac{560}{v + 10} = 1
]
Чтобы решить это уравнение, приведем к общему знаменателю:
[
\frac{560(v + 10) - 560v}{v(v + 10)} = 1
]
Раскроем числитель:
[
560v + 560 \times 10 - 560v = 560 \times 10 = 5600
]
Общее уравнение:
[
\frac{5600}{v(v + 10)} = 1
]
Умножим обе части уравнения на (v(v + 10)):
[
5600 = v(v + 10)
]
Раскроем скобки:
[
5600 = v^2 + 10v
]
Перенесем все в левую сторону:
[
v^2 + 10v - 5600 = 0
]
Это квадратное уравнение. Решим его по формуле:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где (a = 1), (b = 10), (c = -5600).
Найдем дискриминант:
[
D = 10^2 - 4 \times 1 \times (-5600) = 100 + 22400 = 22500
]
Найдем корень дискриминанта:
[
\sqrt{22500} = 150
]
Тогда скорости:
[
v = \frac{-10 \pm 150}{2}
]
Рассмотрим оба варианта:
(v = \frac{-10 + 150}{2} = \frac{140}{2} = 70)
(v = \frac{-10 - 150}{2} = \frac{-160}{2} = -80)
Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем:
[
v = 70, \text{км/ч}
]
Следовательно, скорость второго автомобиля:
[
v = 70, \text{км/ч}
]
и скорость первого автомобиля:
[
v + 10 = 80, \text{км/ч}
]
Ответ:
- Вторая машина движется со скоростью 70 км/ч
- Первая машина — со скоростью 80 км/ч
