Найди периметр треугольника M N K MNK , если окружность, вписанная в этот треугольник, касается его сторон в точках S S , D D и F F , при этом M S = 13 , 5 MS=13,5 , N D = 15 , 7…

Давайте разобьём задачу на части и подробно решим её.

Что известно:

• Есть треугольник \( MNK \).
• Вписанная окружность касается сторон в точках \( S \), \( D \), и \( F \).
• Даны длины от точек соприкосновения до вершин:
  • \( MS = 13,5 \)
  • \( ND = 15,7 \)
  • \( KF = 23,1 \)

Наиханд в указании стороны треугольника и расположения точек. Обычно точки касания вписанной окружности делят стороны треугольника на отрезки, и эти отрезки связаны с длинами сторон и внутренними сегментами.

Важное свойство

Если вписанная окружность соприкасается с стороной треугольника, то от каждой вершины к точке касания на противоположной стороне — это одна часть деления стороны.
Обозначим стороны треугольника так:

• \( a = MN \) — сторона напротив вершины \( K \)
• \( b = NK \) — сторона напротив вершины \( M \)
• \( c = MN \) — сторона напротив вершины \( N \)

И точки касания:

• \( S \) — точка касания на стороне \( MN \)
• \( D \) — точка касания на стороне \( NK \)
• \( F \) — точка касания на стороне \( KM \)

Распределение отрезков

Из свойств вписанной окружности, касаясь стороны, у нас есть свойства деления стороны:

• Для стороны \( MN \):

  • \( MS = s - b \)
  • \( NS = s - c \)

• Для стороны \( NK \):

  • \( ND = s - c \)

• Для стороны \( KM \):

  • \( KF = s - a \)

Где \( s \) — полупериметр треугольника.

Исходя из данных, попробуем определить стороны.

Важная закономерность

Длина сегмента от вершины до точки касания равна \( s - \) длина стороны, напротив этой вершины.

Поэтому:

• \( MS = s - b \)
• \( ND = s - c \)
• \( KF = s - a \)

Подставим значения:

• \( s - b = 13.5 \)
• \( s - c = 15.7 \)
• \( s - a = 23.1 \)

Поскольку \( s \) — общий полупериметр, то \[ b = s - 13.5 \\ c = s - 15.7 \\ a = s - 23.1 \]

Теперь найдем \( a + b + c \):

\[ a + b + c = (s - 23.1) + (s - 13.5) + (s - 15.7) = 3s - (23.1 + 13.5 + 15.7) \] \[ = 3s - (52.3) \]

Но также, сумма сторон: \[ a + b + c = 2s \] (так как \( s = \frac{a + b + c}{2} \)).

Тогда: \[ 2s = 3s - 52.3 \] \[ 3s - 2s = 52.3 \] \[ s = 52.3 \]

Теперь найдём стороны: \[ a = s - 23.1 = 52.3 - 23.1 = 29.2 \] \[ b = s - 13.5 = 52.3 - 13.5 = 38.8 \] \[ c = s - 15.7 = 52.3 - 15.7 = 36.6 \]

Итоговые стороны треугольника

• \( MN = a = 29.2 \)
• \( NK = b = 38.8 \)
• \( KM = c = 36.6 \)

Найдём периметр

\[ P = a + b + c = 29.2 + 38.8 + 36.6 = 104.6 \]

Ответ

Периметр треугольника \( MNK \) равен \(\boxed{104.6}\).