В полном графе количество рёбер 253. Сколько в нём вершин?

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Задача:
В полном графе количество рёбер равно 253. Необходимо найти число вершин в этом графе.

Шаг 1: Формула для количества рёбер полного графа

Для полного графа с \( n \) вершинами (обозначим его как \( K_n \)) количество рёбер рассчитывается по формуле:

\[ E = \frac{n(n - 1)}{2} \]

где:

• \( E \) — количество рёбер,
• \( n \) — число вершин.

Шаг 2: Подставим известное значение

Нам известно, что \( E = 253 \), подставляем в формулу:

\[ 253 = \frac{n(n - 1)}{2} \]

Чтобы избавиться от делителя 2, умножим обе части уравнения на 2:

\[ 2 \times 253 = n(n - 1) \]

\[ 506 = n(n - 1) \]

Шаг 3: Получаем уравнение

Теперь у нас есть квадратичное уравнение:

\[ n^2 - n - 506 = 0 \]

Шаг 4: Решение квадратичного уравнения

Используем формулу для решения квадратичных уравнений:

\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -506 \).

Подставим:

\[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \times 1 \times (-506)}}{2 \times 1} \]

\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 2024}}{2} \]

\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{2025}}{2} \]

Шаг 5: Вычисляем квадратный корень

\(\sqrt{2025} = 45\) (поскольку \(45^2 = 2025\)).

Подставляем:

\[ n = \frac{1 \pm 45}{2} \]

Получаем два возможных значения:

1. \( n = \frac{1 + 45}{2} = \frac{46}{2} = 23 \)

2. \( n = \frac{1 - 45}{2} = \frac{-44}{2} = -22 \)

Поскольку число вершин не может быть отрицательным, выбираем положительный ответ:

\[ \boxed{n = 23} \]

Ответ:

В полном графе, у которого количество рёбер равно 253, число вершин — 23.