Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Задача:
В полном графе количество рёбер равно 253. Необходимо найти число вершин в этом графе.
Шаг 1: Формула для количества рёбер полного графа
Для полного графа с ( n ) вершинами (обозначим его как ( K_n )) количество рёбер рассчитывается по формуле:
[
E = \frac{n(n - 1)}{2}
]
где:
- ( E ) — количество рёбер,
- ( n ) — число вершин.
Шаг 2: Подставим известное значение
Нам известно, что ( E = 253 ), подставляем в формулу:
[
253 = \frac{n(n - 1)}{2}
]
Чтобы избавиться от делителя 2, умножим обе части уравнения на 2:
[
2 \times 253 = n(n - 1)
]
[
506 = n(n - 1)
]
Шаг 3: Получаем уравнение
Теперь у нас есть квадратичное уравнение:
[
n^2 - n - 506 = 0
]
Шаг 4: Решение квадратичного уравнения
Используем формулу для решения квадратичных уравнений:
[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1 ), ( b = -1 ), ( c = -506 ).
Подставим:
[
n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \times 1 \times (-506)}}{2 \times 1}
]
[
n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 2024}}{2}
]
[
n = \frac{1 \pm \sqrt{2025}}{2}
]
Шаг 5: Вычисляем квадратный корень
(\sqrt{2025} = 45) (поскольку (45^2 = 2025)).
Подставляем:
[
n = \frac{1 \pm 45}{2}
]
Получаем два возможных значения:
( n = \frac{1 + 45}{2} = \frac{46}{2} = 23 )
( n = \frac{1 - 45}{2} = \frac{-44}{2} = -22 )
Поскольку число вершин не может быть отрицательным, выбираем положительный ответ:
[
\boxed{n = 23}
]
Ответ:
В полном графе, у которого количество рёбер равно 253, число вершин — 23.
