Два мотоциклиста участвуют в гонке на движение по круговой трассе, длина которой равна 10 км, где им предстоит проехать 15 кругов. Второй мотоциклист обгонял первого на один круг через 20 минут после старта и пришел к финишу на 10 минут раньше первого. Чему равна скорость первого мотоциклиста?

Давайте подробно разберем задачу и найдем ответ. **Дано:** - Длина круга: 10 км - Количество кругов: 15 - Время, через которое второй мотоциклист обогнал первого: 20 минут после старта - Второй мотоциклист пришел к финишу на 10 минут раньше первого. **Нам нужно найти:** - Скорость первого мотоциклиста. --- ### Шаг 1. Определим общие расстояния и время гонки Общий путь каждого мотоциклиста: \[ \text{Общий путь} = 15 \times 10 = 150\, \text{км} \] Обозначим: - \( v_1 \) — скорость первого мотоциклиста (км/ч), - \( v_2 \) — скорость второго мотоциклиста (км/ч), - \( t_1 \) — время гонки первого мотоциклиста (ч), - \( t_2 \) — время гонки второго мотоциклиста (ч). Из условия: \[ t_2 = t_1 - \frac{10}{60} = t_1 - \frac{1}{6} \] так как 10 минут — это 1/6 часа. --- ### Шаг 2. Запишем уравнения для скоростей Поскольку оба проходят одинаковый маршрут: \[ v_1 = \frac{150}{t_1} \] \[ v_2 = \frac{150}{t_2} \] --- ### Шаг 3. Учтем информацию о обгоне Обгон произошел через 20 минут после старта, то есть через \(\frac{20}{60} = \frac{1}{3}\) часа. - За это время первый мотоциклист прошел: \[ S_1 = v_1 \times \frac{1}{3} \] - За то же время второй мотоциклист прошел: \[ S_2 = v_2 \times \frac{1}{3} \] Обгон означает, что в этот момент второй догнал первого, то есть расстояние, пройденное вторым мотоциклистом за 20 минут, равно расстоянию, пройденному первым за 20 минут, плюс то, что первый стартовал чуть раньше или чуть позже? Но в задаче сказано: "второй обгонял первого на один круг через 20 минут", что подразумевает, что в момент обгона второй был у первого "на один круг" впереди, то есть, по сути, он догнал его после прохождения одного полного круга. **Ключевой момент:** - В момент обгона разница их пройденных расстояний равна 10 км (один круг): \[ (S_2 - S_1) = 10\, \text{км} \] Подставим: \[ v_2 \times \frac{1}{3} - v_1 \times \frac{1}{3} = 10 \] или \[ \frac{v_2 - v_1}{3} = 10 \] отсюда \[ v_2 - v_1 = 30 \] --- ### Шаг 4. Связь между скоростями и временем Помним, что: \[ v_2 = \frac{150}{t_2} = \frac{150}{t_1 - \frac{1}{6}} \] и \[ v_1 = \frac{150}{t_1} \] Подставим \( v_2 \): \[ v_2 = \frac{150}{t_1 - \frac{1}{6}} \] Используем разницу: \[ v_2 - v_1 = 30 \] то есть: \[ \frac{150}{t_1 - \frac{1}{6}} - \frac{150}{t_1} = 30 \] --- ### Шаг 5. Решение уравнения относительно \( t_1 \) Перепишем: \[ \frac{150}{t_1 - \frac{1}{6}} - \frac{150}{t_1} = 30 \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{150 t_1 - 150 (t_1 - \frac{1}{6})}{t_1 (t_1 - \frac{1}{6})} = 30 \] Раскроем числитель: \[ 150 t_1 - 150 t_1 + 150 \times \frac{1}{6} = 150 \times \frac{1}{6} = 25 \] Получилось: \[ \frac{25}{t_1 (t_1 - \frac{1}{6})} = 30 \] Теперь выразим \( t_1 \): \[ 25 = 30 \times t_1 \times (t_1 - \frac{1}{6}) \] Разделим обе части на 30: \[ \frac{25}{30} = t_1 (t_1 - \frac{1}{6}) \] или \[ \frac{5}{6} = t_1^2 - \frac{1}{6} t_1 \] Обозначим: \[ t_1^2 - \frac{1}{6} t_1 - \frac{5}{6} = 0 \] --- ### Шаг 6. Решение квадратного уравнения Умножим на 6 для упрощения: \[ 6 t_1^2 - t_1 - 5 = 0 \] Решим уравнение: \[ t_1 = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \times 6 \times (-5)}}{2 \times 6} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 120}}{12} = \frac{1 \pm \sqrt{121}}{12} = \frac{1 \pm 11}{12} \] Варианты решений: - \( t_1 = \frac{1 + 11}{12} = \frac{12}{12} = 1 \) час - \( t_1 = \frac{1 - 11}{12} = -\frac{10}{12} = -\frac{5}{6} \) часа (не подходит, так как время не может быть отрицательным) Итак, \[ t_1 = 1\, \text{час} \] --- ### Итог: вычисляем скорость первого мотоциклиста \[ v_1 = \frac{150 \text{ км}}{1 \text{ ч}} = 150\, \text{км/ч} \] --- ## Ответ: **Скорость первого мотоциклиста равна 150 км/ч.**