В ящике находятся 5 красных, 7 синих, 3 желтых и 5 розовых шаров. Из ящика достают по одному шару, записывают его цвет и возвращают в ящик. Этот опыт повторяют 5 раз. Успехом…
В ящике находятся 5 красных, 7 синих, 3 желтых и 5 розовых шаров. Из ящика достают по одному шару, записывают его цвет и возвращают в ящик. Этот опыт повторяют 5 раз. Успехом считается появление красного шара. Найдите вероятность элементарного события, благоприятствующему тому, что в серии из пяти повторений красный шар появится ровно 1 раз.
Давайте разберём задачу по шагам.
Задача:
В ящике находятся шары четырёх цветов:
- Красных: 5 штук
- Синих: 7 штук
- Желтых: 3 штук
- Розовых: 5 штук
Всего шаров: \(5 + 7 + 3 + 5 = 20\).
Из ящика достают по одному шару, записывают его цвет и возвращают обратно (это означает, что вероятности событий в каждом отдельном испытании не меняются). Повторяют эксперимент 5 раз.
Успех считается, если в серии из 5 испытаний ровно один раз выпал красный шар.
Нам нужно найти вероятность этого события.
Шаг 1: Вероятность вытянуть красный шар в одном испытании
Общее число шаров: 20.
Красных шаров: 5.
Об probability вытягивания красного шара:
\[
P(\text{красный}) = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}
\]
А вероятность вытянуть не красный шар:
\[
P(\text{не красный}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
\]
Шаг 2: Модель задачи
Эксперимент — серию из 5 повторений, каждое независимое.
Нам нужно найти вероятность того, что ровно один раз из пяти вытянули красный шар.
Это классическая задача на биномиальное распределение.
Обозначим:
- \(n = 5\) — число испытаний
- \(k = 1\) — число успехов (выпадения красного шара)
- \(p = \frac{1}{4}\) — вероятность успеха в одном испытании
Вероятность того, что ровно один раз из пяти выпадет красный шар (успех):
\[ P(X=1) = \binom{5}{1} p^1 (1-p)^{4} \]
Где \(\binom{5}{1} = 5\) — число способов выбрать одно успешное испытание среди пяти.
Шаг 3: Подставляем значения
\[ P(X=1) = 5 \times \left(\frac{1}{4}\right)^1 \times \left(\frac{3}{4}\right)^4 \]
Посчитаем \(\left(\frac{3}{4}\right)^4\):
\[ \left(\frac{3}{4}\right)^4 = \frac{3^4}{4^4} = \frac{81}{256} \]
Теперь итоговое выражение:
\[ P(X=1) = 5 \times \frac{1}{4} \times \frac{81}{256} \]
Объединим:
\[ P(X=1) = 5 \times \frac{81}{4 \times 256} = 5 \times \frac{81}{1024} \]
Или:
\[ P(X=1) = \frac{5 \times 81}{1024} = \frac{405}{1024} \]
Ответ:
\[ \boxed{\frac{405}{1024}} \]
Это — вероятность того, что в серии из пяти повторений красный шар выпадет ровно один раз.
