Давайте разберём задачу по шагам.
Задача:
В ящике находятся шары четырёх цветов:
- Красных: 5 штук
- Синих: 7 штук
- Желтых: 3 штук
- Розовых: 5 штук
Всего шаров: (5 + 7 + 3 + 5 = 20).
Из ящика достают по одному шару, записывают его цвет и возвращают обратно (это означает, что вероятности событий в каждом отдельном испытании не меняются). Повторяют эксперимент 5 раз.
Успех считается, если в серии из 5 испытаний ровно один раз выпал красный шар.
Нам нужно найти вероятность этого события.
Шаг 1: Вероятность вытянуть красный шар в одном испытании
Общее число шаров: 20.
Красных шаров: 5.
Об probability вытягивания красного шара:
[
P(\text{красный}) = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}
]
А вероятность вытянуть не красный шар:
[
P(\text{не красный}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
]
Шаг 2: Модель задачи
Эксперимент — серию из 5 повторений, каждое независимое.
Нам нужно найти вероятность того, что ровно один раз из пяти вытянули красный шар.
Это классическая задача на биномиальное распределение.
Обозначим:
- (n = 5) — число испытаний
- (k = 1) — число успехов (выпадения красного шара)
- (p = \frac{1}{4}) — вероятность успеха в одном испытании
Вероятность того, что ровно один раз из пяти выпадет красный шар (успех):
[
P(X=1) = \binom{5}{1} p^1 (1-p)^{4}
]
Где (\binom{5}{1} = 5) — число способов выбрать одно успешное испытание среди пяти.
Шаг 3: Подставляем значения
[
P(X=1) = 5 \times \left(\frac{1}{4}\right)^1 \times \left(\frac{3}{4}\right)^4
]
Посчитаем (\left(\frac{3}{4}\right)^4):
[
\left(\frac{3}{4}\right)^4 = \frac{3^4}{4^4} = \frac{81}{256}
]
Теперь итоговое выражение:
[
P(X=1) = 5 \times \frac{1}{4} \times \frac{81}{256}
]
Объединим:
[
P(X=1) = 5 \times \frac{81}{4 \times 256} = 5 \times \frac{81}{1024}
]
Или:
[
P(X=1) = \frac{5 \times 81}{1024} = \frac{405}{1024}
]
Ответ:
[
\boxed{\frac{405}{1024}}
]
Это — вероятность того, что в серии из пяти повторений красный шар выпадет ровно один раз.
