Давайте решим задачу пошагово.
Обозначим двузначное число через ( 10a + b ), где:
- ( a ) — десятки (от 1 до 9, так как число двузначное),
- ( b ) — единицы (от 0 до 9).
Дано:
- При делении числа ( 10a + b ) на число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, получается частное 4 и остаток 3.
Обратное число — ( 10b + a ).
Запишем условие деления:
[
\frac{10a + b}{10b + a} = 4 \text{ (частное)} \text{ с остатком } 3.
]
Это означает:
[
10a + b = 4 (10b + a) + 3.
]
Раскроем скобки:
[
10a + b = 40b + 4a + 3.
]
Перенесем все в левую часть:
[
10a + b - 40b - 4a = 3,
]
или
[
(10a - 4a) + (b - 40b) = 3,
]
что упрощается до:
[
6a - 39b = 3.
]
Делим обе части на 3 для упрощения:
[
2a - 13b = 1.
]
Это первое уравнение.
- Второе условие: при делении того же числа на сумму его цифр, частное равно 8, а остаток — 7.
Обозначим сумму цифр:
[
a + b.
]
Тогда:
[
\frac{10a + b}{a + b} = 8 \text{ (частное)} \text{ с остатком } 7.
]
Запишем:
[
10a + b = 8(a + b) + 7.
]
Раскроем скобки:
[
10a + b = 8a + 8b + 7.
]
Перенесем все в левую часть:
[
10a + b - 8a - 8b = 7,
]
что равно:
[
(10a - 8a) + (b - 8b) = 7,
]
или
[
2a - 7b = 7.
]
Это второе уравнение.
Теперь у нас система уравнений:
[
\begin{cases}
2a - 13b = 1, \
2a - 7b = 7.
\end{cases}
]
Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти ( b ):
[
(2a - 7b) - (2a - 13b) = 7 - 1,
]
[
2a - 7b - 2a + 13b = 6,
]
[
( -7b + 13b) = 6,
]
[
6b = 6,
]
откуда
[
b = 1.
]
Подставим ( b = 1 ) в первое уравнение:
[
2a - 13 \times 1 = 1,
]
[
2a - 13 = 1,
]
[
2a = 14,
]
[
a = 7.
]
Итак, цифры числа:
[
a = 7, \quad b = 1,
]
и число — ( 10a + b = 10 \times 7 + 1 = 71. )
Проверка условий:
[
\frac{71}{17} = 4\text{ с остатком } 3,
]
так как
[
4 \times 17 = 68,
]
и
[
71 - 68 = 3,
]
что соответствует условию.
- Проверка второго условия:
[
\frac{71}{7 + 1} = \frac{71}{8} = 8 \text{ (частное)} \text{ и } 7,
]
так как
[
8 \times 8 = 64,
]
и
[
71 - 64 = 7,
]
что также соответствует условию.
Ответ: (\boxed{71}).
