Если двузначное число разделить на число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, то получится 4, а в остатке 3. Если же это число разделить на сумму его цифр, то в частном…
Если двузначное число разделить на число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, то получится 4, а в остатке 3. Если же это число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 8, а в остатке 7. Найдите это число.
Давайте решим задачу пошагово.
Обозначим двузначное число через \( 10a + b \), где:
- \( a \) — десятки (от 1 до 9, так как число двузначное),
- \( b \) — единицы (от 0 до 9).
Дано:
- При делении числа \( 10a + b \) на число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, получается частное 4 и остаток 3.
Обратное число — \( 10b + a \).
Запишем условие деления:
\[ \frac{10a + b}{10b + a} = 4 \text{ (частное)} \text{ с остатком } 3. \]
Это означает:
\[ 10a + b = 4 (10b + a) + 3. \]
Раскроем скобки:
\[ 10a + b = 40b + 4a + 3. \]
Перенесем все в левую часть:
\[ 10a + b - 40b - 4a = 3, \]
или
\[ (10a - 4a) + (b - 40b) = 3, \]
что упрощается до:
\[ 6a - 39b = 3. \]
Делим обе части на 3 для упрощения:
\[ 2a - 13b = 1. \]
Это первое уравнение.
- Второе условие: при делении того же числа на сумму его цифр, частное равно 8, а остаток — 7.
Обозначим сумму цифр:
\[ a + b. \]
Тогда:
\[ \frac{10a + b}{a + b} = 8 \text{ (частное)} \text{ с остатком } 7. \]
Запишем:
\[ 10a + b = 8(a + b) + 7. \]
Раскроем скобки:
\[ 10a + b = 8a + 8b + 7. \]
Перенесем все в левую часть:
\[ 10a + b - 8a - 8b = 7, \]
что равно:
\[ (10a - 8a) + (b - 8b) = 7, \] или
\[ 2a - 7b = 7. \]
Это второе уравнение.
Теперь у нас система уравнений:
\[ \begin{cases} 2a - 13b = 1, \\ 2a - 7b = 7. \end{cases} \]
Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти \( b \):
\[ (2a - 7b) - (2a - 13b) = 7 - 1, \]
\[ 2a - 7b - 2a + 13b = 6, \]
\[ ( -7b + 13b) = 6, \]
\[ 6b = 6, \]
откуда
\[ b = 1. \]
Подставим \( b = 1 \) в первое уравнение:
\[ 2a - 13 \times 1 = 1, \]
\[ 2a - 13 = 1, \]
\[ 2a = 14, \]
\[ a = 7. \]
Итак, цифры числа:
\[ a = 7, \quad b = 1, \]
и число — \( 10a + b = 10 \times 7 + 1 = 71. \)
Проверка условий:
Обратное число: 17.
Проверка первого условия:
\[ \frac{71}{17} = 4\text{ с остатком } 3, \]
так как
\[ 4 \times 17 = 68, \] и
\[ 71 - 68 = 3, \] что соответствует условию.
- Проверка второго условия:
\[ \frac{71}{7 + 1} = \frac{71}{8} = 8 \text{ (частное)} \text{ и } 7, \]
так как
\[ 8 \times 8 = 64, \]
и
\[ 71 - 64 = 7, \]
что также соответствует условию.
Ответ: \(\boxed{71}\).
